Es una función cambia a otra función, por un cambio de variables?

Question

Si tengo una función $ u(x,t) = p(x+ct) + q(x-ct) $ (que es el de d'Alembert solución a la $1D$-ecuación de onda), puedo hacer las sustituciones

$$ \xi(x,t) = x + ct\\ \eta(x,t) = x - ct $$

Así que ahora estoy a la izquierda con

$$ u(x,t) = p(\xi) + q(\eta) $$

Entonces yo podría llevarla un paso más allá y escribir

$$ u(x,t) = p(\xi) + q(\eta) = u(\xi, \eta) $$

pero sospecho que la última igualdad es simplemente malo... Es que el caso? Debo lugar a definir una nueva función, decir $v(\xi, \eta)$, por lo que

$$ u(x,t) = v(\xi, \eta) $$

Incluso en la última igualdad, sospecho que usted no puede realmente 'igualar' dos funciones de las diferentes variables. ¿Cuál es el enfoque correcto/terminología aquí, para que quede claro que dos funciones son iguales, salvo por un cambio apropiado de las variables?

Answer 1

Una vez que hemos definido $u$ por la ecuación de $u(x,t)=p(x+ct)+q(x-ct)$, usted tiene esta misma ecuación para cualesquiera otras cantidades que usted podría sustituir a $x$$t$. En particular, $u(\xi,\eta)=p(\xi+x\eta)+q(\xi-c\eta)$. Así que tienes toda la razón que usted no puede reclamar $p(\xi)+q(\eta)=u(\xi,\eta)$. (Si usted hizo esa afirmación, ¿qué sería de $u(3,7)$ significa? Habría que sustituir el 3 y el 7$x$ $t$ en la ecuación original o sustituto de ellos para $\xi$ $\eta$ en la nueva reclamación?) Así que usted definitivamente necesita un nuevo nombre, como $v$, para la nueva función.

Correctamente observó que el resultado de la ecuación de $u(x,t)=v(\xi,\eta)$ parece sospechoso, debido a que los dos lados son funciones de las diferentes variables. El problema, sin embargo, se resuelve en sí mismo cuando usted recuerde que $\xi$ $\eta$ fueron introducidos como ciertas funciones de $x$$t$. Así, aunque la ecuación de $u(x,t)=v(\xi,\eta)$ está mal (o sinsentido) si usted piensa de $x,t,\xi,\eta$ como variables, se convierte en correcto si usted toma la dependencia funcional en cuenta y escribir $u(x,t)=v(\xi(x,t),\eta(x,t))$.

Answer 2

• $p(\xi) + q(\eta) = u(\xi, \eta)$ es incorrecta, porque ya había definido $u$ "$\text{$p$([first_variable] + $c$*[second_variable]) + $p$([first_variable] - $c$*[second_variable])}$", mientras que la función aquí escrito es "$\text{$p$([first_variable]) + $p$([second_variable])}"$

• $u(x,t) = p(\xi) + q(\eta)$ es casi correcto (o totalmente correcto si estamos de acuerdo con este escrito convención) porque es la abreviatura de $u(x,t) = p(\xi(x,t)) + q(\eta(x,t))$

• $u(x,t)=v(ξ,η)$ es, de nuevo, casi correcto, porque (en caso de $v$ se define adecuadamente) es corto para $u(x,t) = v(\xi(x,t),\eta(x,t))$