Encontrar un círculo invisible dibujando otra línea

Question

Un amigo mío me enseñó la siguiente pregunta. Él dijo que él encontró en un libro hace un par de años. A pesar de que he tratado de resolverlo, estoy en la dificultad.

Pregunta: Usted sabe que en un avión no es un círculo imaginario cuyo radio es menor que o igual a $1$. Afortunadamente, ya ha encontrado que las longitudes de las cuerdas de un círculo por dos líneas de $l_1, l_2$ son $d_1, d_2$ $(2\gt d_1\ge d_2\gt0)\ $respectivamente. Al dibujar otra línea, vamos a encontrar de este círculo. Si la línea en la que vamos a dibujar cruza un círculo en dos puntos, entonces usted va a obtener la longitud de la cuerda de un círculo con la línea. Si la línea en la que vamos a dibujar un círculo entrar en contacto unos con otros, entonces usted va a obtener las coordenadas del punto de contacto en lugar de obtener $0$ como la longitud de la cuerda. Si la línea que va a sacar ni cruces ni entra en contacto con cualquier círculo, entonces usted será capaz de dibujar otra línea una vez más. Encontrar las coordenadas del centro de un círculo.

Esto es todo lo que la pregunta dice. Me podrían dar cómo encontrar las coordenadas?

La situación hasta la fecha: $l_1\paralelo l_2$ caso : Este caso ha sido ya resuelto (ver el Azul de la respuesta de abajo).

El $l_1\no \paralelo l_2$ caso : Este caso no se ha resuelto todavía.

Suponiendo que $l_1:y=x\tanθ$, $l_2:y=-x\tanθ$ y $l_3:y=0$ ($l_4:x=0$ si es necesario) $0<θ<\pi/2$, entonces podemos obtener dos posibles coordenadas como el centro de un círculo. Sin embargo, parece difícil decidir solo las coordenadas, ya que cada línea es simétrica respecto al origen.

Por lo tanto, una nueva línea, que no es $ $ y=0$, es necesario como $l_3$.

Mi planteamiento: Deje que cada uno de $l_{1,d+}, l_{1,d}, l_{2,D+}, l_{2,D-}$ ser las siguientes:$$l_{1,d+}:y=x\tanθ+\frac{d}{\cos}, l_{1,d-}:y=x\tanθ-\frac{d}{\cos}$$ $$l_{2,D+}:y=-x\tanθ+\frac{D}{\cos}, l_{2,D-}:y=-x\tanθ-\frac{D}{\cos},$$ donde $D=\sqrt{d^2+\frac{{d_1}^2-{d_2}^2}{4}}.$

Tenga en cuenta que cada una distancia de entre $l_1$ y $l_{1,d\pm}$ es $d$, y que cada una distancia de entre $l_2$ y $l_{2,D\pm}$ es $D$. También, tenga en cuenta lo siguiente: $$\sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2+d^2}=\sqrt{\left(\frac{d_2}{2}\right)^2+D^2}.$$ Esto significa que el radio de un círculo que atraviesa $l_1$ es igual al radio de un círculo que atraviesa $l_2$. Tenga en cuenta que $d$ debe cumplir con lo siguiente:$$0\le d\le \sqrt{1-\frac{{d_1}^2}{4}}.$$

Luego, Dejando que cada una de las intersecciones de $l_{1,d-}$ y $l_{2,D+}$, $l_{1,d+}$ y $l_{2,D+}$, $l_{1,d+}$ y $l_{2,D-}$, $l_{1,d-}$ y $l_{2,D}$ $P_{-+}$, $P_{++}$, $P_{+-}$, $P_ {--}$, respectivamente, podemos representar estos como el follwoings: $$P_{-+}\ \izquierdo(\frac{d+D}{2\sinθ}, \frac{-d+D}{2\cos}\right), P_{++}\ \izquierdo(\frac{-d+D}{2\sinθ}\frac{d+D}{2\cos}\right),$$$$ P_{+-}\ \izquierdo(\frac{-d-D}{2\sinθ}, \frac{d-D}{2\cos}\right), P_{--}\ \izquierdo(\frac{d-D}{2\sinθ}, \frac{-d-D}{2\cos}\right).$$

Ya que cada radio es de $\sqrt{d^2+\frac{{d_1}^2}{4}}$, podemos representar los círculos por $d$ como las siguientes: $$C_{-+}:\left(x-\frac{d+D}{2\sinθ}\right)^2+\left(y-\frac{-d+D}{2\cosθ}\right)^2=d^2+\frac{{d_1}^2}{4}$$ $$C_{++}:\left(x-\frac{-d+D}{2\sinθ}\right)^2+\left(y-\frac{d+D}{2\cosθ}\right)^2=d^2+\frac{{d_1}^2}{4}$$ $$C_{+-}:\left(x-\frac{-d-D}{2\sinθ}\right)^2+\left(y-\frac{d-D}{2\cosθ}\right)^2=d^2+\frac{{d_1}^2}{4}$$ $$C_{--}:\left(x-\frac{d-D}{2\sinθ}\right)^2+\left(y-\frac{-d-D}{2\cosθ}\right)^2=d^2+\frac{{d_1}^2}{4}.$$

El cambio de $d$ $- d$ en $C_{++}$ da $C_{-+}$ y el cambio de $d$ $- d$ en $C_{+-}$ da $C_{--}$. Por lo tanto, podemos representar cada una de las posibles invisible círculo por $d$ como el siguiente: $$C_{\pm+}:\left(x-\frac{-d+D}{2\sinθ}\right)^2+\left(y-\frac{d+D}{2\cosθ}\right)^2=d^2+\frac{{d_1}^2}{4}$$ $$C_{\pm-}:\left(x-\frac{-d-D}{2\sinθ}\right)^2+\left(y-\frac{d-D}{2\cosθ}\right)^2=d^2+\frac{{d_1}^2}{4}$$ por $d$ que satisface lo siguiente: $$-\sqrt{1-\frac{{d_1}^2}{4}}\le d\le \sqrt{1-\frac{{d_1}^2}{4}}.$$

En adición a esto, dejando $(x,y)$ ser el centro de cada círculo, obtenemos los siguientes: $$xy=\frac{{d_1}^2-{d_2}^2}{16\cos\sinθ}.$$

Esto muestra que el centro de cada una de las posibles invisible círculo es en esta hipérbola si $d_1-d_2>0$.

He tratado de conseguir una línea especial como $l_3$, pero me estoy enfrentando dificultades.

actualización: me crossposted a MO.

http://mathoverflow.net/questions/140435/finding-an-invisible-circle-by-drawing-another-line

Answer 1

Después de luchar con las ecuaciones para un par de inútiles minutos, me fui de nuevo y leer la pregunta con más cuidado ... ;-)

Mi solución es en el http://mathoverflow.net/questions/140435/finding-an-invisible-circle-by-drawing-another-line/ donde el problema fue re-publicado.

edit: En respuesta a Daniel de la solicitud, el siguiente es un copiar y pegar de mi respuesta en mathoverflow (Buena idea en realidad Daniel porque puede ser cerrado o borrado de allí.)

empezar a cotizar

Creo que esta es la gran idea: "Si la línea en la que vamos a dibujar un círculo entrar en contacto unos con otros, entonces usted va a obtener las coordenadas del punto de contacto en lugar de llegar de 0 a medida que la longitud de la cuerda."

Si la primera línea corta una cuerda de longitud $d_1$ el círculo está encerrado en una banda centrada sobre la línea, que van desde estar centrados en la línea cuando el círculo tiene un diámetro de $d_1$ a un círculo unidad de desplazamiento en cualquier lado de la línea, y las líneas de delimitación de la banda son tangentes a ambos de estos círculos de unidad. (Por supuesto, estos círculos se hará coincidir si $d_1 = 2$.)

Con eso en mente, lo que usted debe hacer es dibujar la tercera línea paralela a la primera a una distancia de $\frac{d_1}{2}$ de ella. Si el círculo se compensa con el otro lado de la línea, entonces usted puede tener una segunda oportunidad, y dibuja otra línea paralela a la misma distancia del otro lado.

Una de estas líneas será tangente al círculo (si es que se centra en la línea y tiene un diámetro de $d_1$), y en este caso las coordenadas del punto de contacto permiten deducir el círculo del centro.

De lo contrario, una de estas líneas se cortan un acorde, y la longitud de esto, combinado con el original de la longitud de la cuerda y la distancia de la línea paralela que permitirá que el radio del círculo que se determine.

Pero una vez que sabes el círculo de la radio, el acorde longitudes cortadas por dos líneas oblicuas que permiten su centro que se determine.

Muy bonito problema!

fin de la cita

P. S. no me elaborar la solución, porque geométricas elementales cálculos parecen fuera de lugar allí, y supongo que la mayoría de la gente aquí también tendría ninguna dificultad en la obtención de los resultados se basa explícitamente en este enfoque.

Answer 2

Tratando de otra manera, nos vamos a denotar las dos líneas dadas por $p_i x + q_i y = r_i$, donde $p_i^2 + q_i^2 = 1$ ($i = 1, 2$) y, para evitar el karting en torno a una carga de 2s, denotan el respectivo acorde longitudes por $2 d_i$.

Entonces, lo que denota el centro del círculo por (u, v), el cual se encuentra, la ecuación del círculo es el siguiente, en el que $p u + p v = r$ es nuestro 3 (o 4) de la línea, de nuevo, como siempre, con p^2 + q^2 = 1 :

$(x - u)^2 + (y - v)^2 = (p_1 u + q_1 v - r_1)^2 + d_1^2 = (p_2 u + q_2 v - r_2)^2 + d_2^2 = (p, u + p v r)^2 + d^2$

Restando, para eliminar a la izquierda de la suma de los cuadrados que involucra $x,$ y, da a dos cónicas (en general hipérbolas) en $u, v$. Así que si la pregunta tiene una solución, entonces debe ser posible elegir $p, q, r$ tal que si d > 0, entonces estas dos cónicas se cruzan en exactamente un punto. Este punto debe estar en una tangente común si al menos una cónica no degenerada, o de lo contrario, es decir, si cada una de las cónicas es un par de líneas, un punto común de intersección de las cuatro líneas.

La condición de la(s) $p, q, r$ no debe implicar $d$, ya que no es conocido de antemano. Pero podemos utilizar diferentes condiciones basadas en los valores de la $d_i$, por ejemplo si o no $d_1 = d_2$.

Voy a estudiar más esta noche, pero en el mientras tanto no dude en modificar/añadir el de arriba, si llega la inspiración!