Existe un cambio de variables de la fórmula para una medida teórica integral que no hace uso de la medida de Lebesgue

Question

¿Hay un genérico de cambio de las variables de la fórmula para una medida teórica integral que no hace uso de la medida de Lebesgue? Específicamente, la mayoría de las referencias que puedo encontrar a dar un cambio de variables de la fórmula de la forma:

$$ \int_{\phi(\Omega)} f d\lambda^m = \int_{\Omega} f \circ \phi |\det J_\phi| d\lambda^m $$

donde $\Omega\subset\Re^m$, $\lambda^m$ indica el $m$-dimensional de la medida de Lebesgue, y $J_\phi$ denota el Jacobiano de $\phi$. Es posible reemplazar $\lambda^m$ con un genérico de medida y, si es así, hay una buena referencia para la prueba? También tengo curiosidad de saber si una fórmula similar sostiene en infinitas dimensiones.

Answer 1

Dada una medida de espacio $(X_1,M_1,\mu)$ y un espacio medible $(X_2,M_2)$ puede definir el pushforward medida en $M_2$ $\mu$ medibles función de $F:X_1\to X_2$$F\mu(E)=\mu(F^{-1}(E))$. Entonces usted tiene la fórmula

$$\int_{X_2}g\;\mathrm{d}F\mu=\int_{X_1}g\circ F\;\mathrm{d}\mu$$

que es, efectivamente, el cambio de variables entre la medida de los espacios de $(X_1,M_1,\mu)$$(X_2,M_2,F\mu)$. El cambio de las variables con Lebesgue de una medida que, a continuación, un caso especial de esto (el pushforward de $|\mathrm{det} DF|\mathrm{d}\lambda$ bajo$F$$\mathrm{d}\lambda$).

Answer 2

También usted puede tener la mirada en V. I. Bogachev. "Teoría De La Medida."

En el caso de que usted está interesado en la teoría de la probabilidad, ver R. Durrett, la "Probabilidad: Teoría y Ejemplos", 4ª ed, 2010, pp 30-31.

Answer 3

por favor, eche un vistazo a la monografía de Patric Muldowney teoría de la variación Aleatoria John Wiley and sons. se sugiere una formuala y demuestra el uso de Henstock-kurzweil apparoach