Hay un triple de pitágoras, tales de que todos los ángulos de la correspondiente triángulo son fracciones simples de $\pi$?

Question

Obviamente, el más interesante de la terna pitagórica $(a, b, c)$ sería uno de los cuales el correspondiente triángulo (con entero de longitudes de lado $a, b, c$) tiene ángulos de 90°, 60° y 30° ( $\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3}$ $\frac{\pi}{6}$ ). Esto significaría que $c = 2a$ (desde $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$).

Pero en el caso de este doens no existe, yo estaría interesado en aprender acerca de cualquier triple que conduce a la "buena" o "muy interesante" de los ángulos agudos.

Answer 1

Esto es una consecuencia del hecho de que el grupo de la unidad de $\Bbb Z[i]$$\{\pm1,\pm i\}$.

Para, tomar una terna Pitagórica: $a^2+b^2=c^2$, con un ángulo de $\beta$ frente al lado de la longitud de la $b$. Usted está preguntando si es posible para $n\beta\equiv0\pmod{2\pi}$.

Ahora $z=\frac a c+\frac b ci$ es un elemento de $\Bbb Q(i)$ sobre el círculo unitario, y su argumento es $\arctan(b/a)=\beta$. El argumento de $z^n$$n\beta\pmod{2\pi}$.

Pero si $n\beta\equiv0\pmod{2\pi}$,$z^n=1$, y por lo $z$ es una raíz de la unidad, de la cual solo existen los poderes de $i$$\Bbb Q(i)$.

Answer 2

Deje $a,b,c$ a los lados de un triángulo de pitágoras con la correlativa ángulos $\alpha$ y $\beta$ ($\gamma$ siempre es $\frac{\pi}{2}$). Se sabe, por trascendental de la teoría de números, que $\sin\space x$ $\cos\space x$ son trascendentales al $x\ne 0$ es algebraico. En consecuencia, $\alpha$ $\beta$ son necesariamente trascendental debido a que $\sin\space \alpha=\frac{a}{c}$$\sin\space \beta=\frac{b}{c}$.

Además de $\alpha + \beta= \frac{\pi}{2}$, pero esto no significa necesariamente que $\alpha$ $\beta$ son fracciones racionales de $\pi$.

Su pregunta es muy interesante. Yo creo que lo más probablemente, con excepción de $(\alpha, \beta)$=$(\frac {\pi}{3},\frac{\pi}{6})$ es que$(\alpha, \beta)$= $(\frac{\pi}{2}-h,\frac {\pi}{2}+h)$ para algunos "perturbado" $h$.

Voy a tratar de conseguir una mejor respuesta.

NOTA.-El triángulo con ángulos de 90, 60 y 30 grados no es de Pitágoras. Hay por lo tanto ninguna excepción de pitágoras para los triángulos. Y sólo hay una excepción para los triángulos rectángulos, de acuerdo a la Niven del Teorema citado en otra respuesta aquí por @Lucian.

Answer 3

Sus tres ángulos son racionales múltiplos de $\pi$. Si sus tres lados son también racionales $($ya que esto es lo que la expresión de la terna Pitagórica implica$)$, entonces esto significaría que el seno y coseno de racional de los múltiplos de $\pi$ son también racionales. Pero, según Niven del teorema, esto sólo puede suceder por la $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ triángulo.

Answer 4

Deje $A$ ser el ángulo que es $\frac{\pi}{2}$ y asumir que el otro ángulo de $B=\frac{m}{n}\pi$.

A continuación, $2 \cos(B) =e^{\frac{m}{n}\pi i}+e^{-\frac{m}{n}\pi i}$ es un entero algebraico, como la suma de dos expresiones algebraicas entero. Esto implica que $2 \cos(B)$ es un número entero, y ya que estamos en el primer cuadrante tenemos $$2 \cos(B) \in \{ 0 ,1, 2\}$$

Es fácil comprobar todos los tres casos.