derivada covariante de spinor campos

Question

escalares (spin-0) derivados se expresa como:

$$\nabla_{i} \phi = \frac{\partial \phi}{ \partial x_{i}}$$

vector (spin-1) derivados se expresa como:

$$\nabla_{i} V^{k} = \frac{\partial V^{k}}{ \partial x_{i}} + \Gamma^k_{m i} V^m$$

¿cuál es la expresión para covariante derivados de spinor (spin-1/2) las cantidades?

Answer 1

Hay una interesante manera de ver Christoffel conexiones con spinor campos. La costumbre de Dirac operador está escrito como $\gamma^\mu\partial_\mu$. Es interesante el cambio esta a $\partial_\mu(\gamma^\mu\psi)$. Esto se convierte entonces en $$ \partial_\mu(\gamma^\mu\psi)~=~ \gamma^\mu\partial_\mu~+~(\partial_\mu\gamma^\mu)\psi. $$ El anticommutator $\{\gamma^\mu,~\gamma^\nu\}~=~2g^{\mu\nu}$ y el covariante de la constancia de la métrica da $\partial_\mu\gamma^\mu~=~\Gamma^\mu_{\mu\sigma}\gamma^\sigma$. Así entonces podemos escribir el operador de Dirac en este formulario diferente, $$ \delta_\nu^\mu\partial_\mu(\gamma^\nu\psi)~=~ \delta^\mu_\nu \gamma^\nu\partial_\mu\psi~+~\delta^\mu_\nu \Gamma^\nu_{\mu\sigma}\gamma^\sigma\psi. $$ Ahora, si se despega la delta de Kronecker tiene una derivada covariante de la spinor campo.

Lo que esto significa es que, en general, el álgebra de Clifford $CL(3,1)$ de representación de las matrices de Dirac es local. La conexión coeficiente puede entonces ser visto como debido a la transición de las funciones entre estas representaciones, por lo que el diferencial produce la conexión de los coeficientes.

Answer 2

Antes de que incluso se puede introducir spinor haces en la curva el espacio-tiempo, necesitamos introducir vierbeins primera. Esto define un local ortonormales marco. Si lo desea, puede introducir un principio marco de un paquete con $Spin(d,1)$ como el grupo gauge. Spinors puede ser definida con respecto a este marco. La clave es que spinors son representaciones de $Spin(d,1)$, una doble cubierta de $SO(d,1)$, pero no del grupo lineal general $GL(d+1,\mathbf{R})$. El afín de conexión es una conexión a través de este último grupo, pero suponiendo que metricity, podemos mapa que en una vuelta de conexión sobre el antiguo principio de paquete.

Answer 3

Me gustaría que usted pague su atención que de esta manera la introducción de "interacción" sólo es bueno para la descripción de los campos externos (que puede ser encendido y apagado físicamente). Esta forma de acoplamiento con el campo propio (que nunca puede ser desactivada) no es buena y las necesidades de la resolución de IR y UV divergencias, si se implementan. Después de renormalizaciones e IR diagrama suma el verdadero acoplamiento con el campo propio es diferente de la "derivada covariante".