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Volumen delimitado por cilindros $x^2 + y^2 = r^2$ y $z^2 + y^2 = r^2$

Tengo problemas para expresar la pregunta titular como integrales iteradas sobre una región dada. He intentado acotar el problema y he llegado a la conclusión de que la forma más sencilla de abordarlo es integrar sobre el plano XZ en el octante positivo y multiplicar por 8, pero tengo problemas para identificar las funciones delimitadoras.

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Aunque este post es uno de los más antiguos (y con respuesta no calcográfica), este comentario es para enlazar este post como uno de los duplicados (abstractos) a la elección actual de puesto de madre/objetivo .

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El sólido se encuentra por encima de la región $D$ en el $xy$ -plano delimitado por el círculo $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ por lo que el volumen viene dado por la integral $$\int\int\limits_{D} f(x,y) \ dA = \int\limits_{-r}^{r}\int\limits_{-\sqrt{r^{2}-y^{2}}}^{\sqrt{r^{2}-y^{2}}} f(x,y) \ dx dy$$

Por lo tanto, el volumen requerido del sólido es: $$\int\limits_{-r}^{r}\int\limits_{-\sqrt{r^{2}-y^{2}}}^{\sqrt{r^{2}-y^{2}}} 2\sqrt{r^{2}-y^{2}} \ dx dy = \frac{16}{3}r^{3}$$

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Michael Wiles Puntos 158

Este es uno de esos resultados en el cálculo que fueron anticipados por Arquímedes. Dio una fórmula correcta para el volumen, pero no se sabe exactamente cómo Arquímedes resolvió este problema. Sin embargo, existe una forma sencilla de obtener la respuesta sin mucho cálculo. Permítanme citar el último libro de Gardner El colgado inesperado y otros desvíos matemáticos (Gardner considera el caso $r=1$ pero esto no es esencial, por supuesto):

Imagina una esfera de radio unitario dentro del volumen común a los dos cilindros y que tiene como centro el punto donde se cruzan los ejes de los cilindros. Supongamos que los cilindros y la esfera están cortados por la mitad por un plano que pasa por el centro de la esfera y los dos ejes de los cilindros. La sección transversal del volumen común a los cilindros será un cuadrado. La sección transversal de la esfera será un círculo que llena el cuadrado.

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Supongamos ahora que los cilindros y la esfera están cortados por un plano paralelo al anterior, pero que corta sólo una pequeña parte de cada cilindro sólo una pequeña porción de cada cilindro ( mira la foto de la izquierda ). Esto producirá pistas paralelas en cada cilindro que se cruzan como antes para formar una sección transversal cuadrada de el volumen común a ambos cilindros. También como antes, la sección transversal de la esfera será un círculo dentro del cuadrado. No es difícil ver (con un poco de imaginación y un lápiz que cualquier sección plana a través de los cilindros, paralela a la paralela a los ejes de los cilindros, tendrá siempre el mismo resultado: una sección transversal cuadrada del volumen común a los cilindros, que encierra una sección transversal circular de la esfera. Piensa que todas estas secciones planas están empaquetadas como las hojas de un libro. Evidentemente, el volumen de la esfera será la suma de todas las secciones circulares, y el volumen del sólido común a ambos cilindros será la suma de todas las las secciones transversales cuadradas. Concluimos, por tanto, que la relación entre el volumen de la esfera y el volumen del sólido común a los cilindros es la misma que la relación del área de un círculo al área de un cuadrado circunscrito. Un breve cálculo muestra que esta última relación es $\pi/4$ . Esto permite la siguiente ecuación, en la que $x$ es el volumen que buscamos:

$$\frac{4\pi r^3/3}{x}=\frac{\pi}{4}.$$

El $\pi$ de la empresa, dando $x$ un valor de $16r^3/3$ . El radio en en este caso es 1, por lo que el volumen común a ambos cilindros es $16/3$ . Como señaló Arquímedes, es exactamente $2/3$ el volumen de un cubo que encierra la esfera; es decir, un cubo con una arista igual al diámetro de cada cilindro.

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¡Es un argumento muy bonito!

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