¿Cómo resolver esta ecuación irracional?

Question

Cómo resolver esta ecuación en el conjunto de los números reales $$\sqrt{8x + 1} - \sqrt{6x - 2} - 2x^2 + 8x - 7 = 0.$$ Usando Mathematica, sé que esta ecuación tiene dos soluciones $x = 1$ y $x = 3.$

Answer 1

Realmente no recomiendo lo siguiente, pero un ansatz general para $$\sqrt P - \sqrt Q = R$$ donde $P$ , $Q$ y $R$ son polinomios en una sola incógnita, podría ser multiplicar con el conjugado: $$ P - Q = R\sqrt P + R\sqrt Q$$ y luego ampliar con $\sqrt P = R+\sqrt Q$ para conseguir $$P - Q = R^2 + 2R\sqrt Q $$ y por lo tanto $$ (P - Q - R^2)^2 = 4R^2 Q$$ por lo que las soluciones que buscas serán raíces de algún polinomio real -- pero algunas de las raíces serán no-soluciones, y el polinomio final tendrá generalmente un grado inconvenientemente alto.

Siempre se puede hacer esto y aplicar la prueba de raíz racional para ver si hay bonito soluciones a la ecuación original, sin embargo. Si no es así, entonces también podrías resolver la original numéricamente.

Answer 2

Escribe:

$$\sqrt{8x + 1} - \sqrt{6x - 2} - 2x^2 + 8x - 7 = 0.$$

Como:

$$(\sqrt{8x + 1} - \sqrt{6x - 2}) = (2x^2 - 8x + 7).$$

Elevando al cuadrado ambos lados se obtiene:

$$14 x-2 \sqrt{6 x-2}\sqrt{8 x+1}-1 = 4x^4-32x^3+92x^2-112x+49$$

Simplificando:

$$-2 \sqrt{6 x-2}\sqrt{8 x+1} = 4x^4-32x^3+92x^2-112x+49$$

Al elevar al cuadrado ambos lados se obtiene de nuevo:

$$ 4(6x-2)(8x+1) = 16 x^8-256 x^7+1760 x^6-6896 x^5+16928 x^4-26384 x^3+25076 x^2-12600 x+2500$$

Simplificando:

$$16 x^8-256 x^7+1760 x^6-6896 x^5+16928 x^4-26384 x^3+24884 x^2-12560 x+2508 = 0$$

Esto nos da más raíces, por lo que hay que tener cuidado, pero efectivamente, recuperamos dos de los $8$ raíces como $x = 1$ y $x = 3$ .

Los métodos numéricos también habrían funcionado antes y las conjeturas también.

Saludos

Answer 3

Tenga en cuenta que, con $x=1$ , $y=\sqrt{8x+1}$ toma el valor $y=3$ y con $x=3$ , $y=\sqrt{8x+1}$ toma el valor $y=5$ . Poner el punto $A(1, 3)$ y $B(3,5)$ . La ecuación de la recta que pasa por dos puntos $A$ y $B$ es $y = x + 2.$ Y entonces escribimos $$\sqrt{8x + 1}-(x+2).$$ Similar a con $$(x+1- \sqrt{6x - 2}).$$ Escribimos la ecuación dada tiene la forma $$ \sqrt{8x + 1}-(x+2) + (x+1- \sqrt{6x - 2}) =2(x^2 - 4x + 3). $$ equivalente a $$ \dfrac{-(x^2 -4x + 3)}{ \sqrt{8x + 1}+(x+2)}+ \dfrac{x^2 -4x + 3}{x+1 + \sqrt{6x - 2}}=2(x^2 - 4x + 3).$$ O $$ (x^2 -4x + 3)\left(\dfrac{1}{ \sqrt{8x + 1}+(x+2)}+ 2- \dfrac{1}{x+1 + \sqrt{6x - 2}}\right)=0.$$ Con $x\geqslant \dfrac{1}{3}$ es fácil ver que $$ \dfrac{1}{ \sqrt{8x + 1}+(x+2)}+ 2- \dfrac{1}{x+1 + \sqrt{6x - 2}} >0.$$ Por lo tanto, obtenemos $$ x^2 -4x + 3 = 0.$$