Álgebra lineal - valores propios

Question

Tengo este problema:

Dejemos que $A$ sea cualquier $n \times n$ definida sobre los números reales, tal que $A-A^2=I$ . Entonces demuestre que $A$ no tiene ningún valor propio real.

Lo que hice:

$$A-A^2=I$$ $$A-A^2-I=0$$ $$A(A-I)-I=0$$

Ahora tengo que demostrar que $A(A-I) \neq I$ . Supongamos que $A=2I$ . (Si $A=I$ entonces $0 \neq I$ .) Entonces $$A(A-I)=I$$ $$2I(2I-I)=I$$ $$2I(I)=I$$ $$2I \neq I$$

Esta ecuación no tiene solución, pero creo que no la he demostrado correctamente.

Cualquier ayuda será apreciada, gracias.

Answer 1

Si $v$ es un vector propio de $A$ con valor propio $\lambda$ entonces $(A-A^2)v = \lambda v - \lambda^2 v = (\lambda - \lambda^2)v$ por lo que si $A-A^2 = I$ Entonces estarías resolviendo $(\lambda - \lambda^2)v = v$ lo que implica que $\lambda-\lambda^2 = 1$ que no tiene soluciones reales (pero ciertamente tiene soluciones complejas).

Answer 2

$$A-A^2=I\iff A^2-A+I=0\implies A$$

es un cero del polinomio $\;p(x)=x^2-x+1\;$ . Este polinomio tiene no raíces en $\;\Bbb R\;$ y por lo tanto la afirmación es verdadera si $\;A\;$ se define como una matriz real, pero este polinomio tiene dos raíces complejas no reales diferentes y si $\;A\;$ se define sobre $\;\Bbb C\;$ entonces sí tiene dos valores propios (diferentes), al menos.

Answer 3

Seguro que quieres decir eso $A$ no tiene un real valor propio. En efecto, el polinomio $P(x)=x^2-x+1$ aniquila $A$ por lo que cualquier valor propio de $A$ es una raíz de $P$ . Comprobamos fácilmente que $P$ tiene dos raíces complejas no reales ya que $\Delta =1-4<0$ .