¿Cómo puedo leer el simple, pero contradictorio, Lagrange ($\mathcal{L} = x + v$)?

Question

Entiendo que el lagrangiano de la formulación de la mecánica clásica, a un grado. Me pueden derivar de Euler-Lagrange las ecuaciones de "al menos" el principio de la acción, y, equivalentemente, se puede determinar las ecuaciones de movimiento de lagrange. Puedo manejar de lagrange ejercicios en los libros de texto con facilidad.

No acabo de asimilar que, aunque. Si la borraron de mi mente, yo no sería capaz de volver a inventar. Así que me voy de regreso a través de ella.

La manera en que yo entiendo el de Euler-Lagrange ecuación es así: En la física clásica, por la observación, no es estacionaria cantidad. Este estacionaria cantidad se llama la "acción", y es la suma de las energías a lo largo del tiempo (como alternativa, un producto de su tiempo y energía). De nuevo a través de la observación, las energías pueden ser calculados dadas las posiciones y las velocidades de todos los elementos del sistema. Llamar a una función de este tipo $\mathcal{L}(x, \dot{x})$, lo trata como una caja negra. Luego tenemos a $Action = \int dt \mathcal{L}(x, \dot{x})$. Haciendo de este estacionaria, que se derivan de

$$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x} = \frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \dot{x}}$$

De manera informal, esto me dice que los caminos tomados de la física actual. son aquellos en los que pequeñas perturbaciones en una posición de la partícula son cancelados precisamente por los cambios en la velocidad antes y después de que la posición (donde la velocidad de los cambios son causados por la posición de la perturbación). Esto tiene un casi económico elegancia.

Pero todavía no completamente sentido para mí lo que es un Lagrangiano es. Su unidad es el de la energía, seguro, pero yo también no acaba de asimilar la energía más allá de lo abstracto. Así que pensé en jugar con un par de simples Lagrangians, con la esperanza de romper la formulación y aprender algo de cómo las piezas se cayó. Tomemos, por ejemplo, esta función trivial:

$$\mathcal{L}(x, v) = x + v$$

En él se describe un mundo no físico, sin duda. La energía está lejos de ser conservadas. Pero pensé que la construcción de un extraño pero simple de lagrange me daría una idea de la naturaleza de la formulación. Vamos a derivar las ecuaciones de movimiento:

$$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x} = 1$$

$$\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial v} = 1$$

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial v} = 0$$

Por lo que el camino tomado es el camino de satisfacciones

$$1 = 0$$

...¿Eh. Las leyes del movimiento son unsatisfiable. No estoy seguro de cómo tomar que.

Lo que, precisamente, salió mal aquí? Estoy buscando una forma geométrica o intuitivo explicación -- el algebraicas problemas entiendo.

Qué clase de mundo era yo tratando de construir? Dónde está la contradicción?

De manera más general, cuando se le entregó a una de Lagrange, ¿qué significan? Me puede integrar para obtener la acción (un resumen del número asignado a una ruta de acceso) o puedo conectarlo al Euler-Lagrange las ecuaciones de la figura de movimiento, pero, ¿qué significa en su forma nativa? ¿Cómo puedo leer un Lagrangiano sin torcer su brazo?

Answer 1

Primero quiero recordarles lo que está pasando detrás de las escenas. Saber dónde está la partícula es que en algún momento inicial,$t_1$, y saber dónde está la partícula está en algún tiempo final $t_2$, y la pregunta que se hacen es, el camino que va a obtener de mí la posición inicial en el momento inicial a la posición final en el último tiempo en una forma que minimiza la acción. Matemáticamente desea que la función de $x(t)$ que satisface las condiciones de $x(t_1)=x_1$ $x(t_2)=t_2$ y que minimiza $S$.

Usted escribió dos términos, vamos a considerar por separado. Es la más fácil de tratar es el de la $v$ plazo. Que el plazo es de un total de derivados:

$$S=\int_{t_1}^{t_2} dt \frac{dx}{dt} = x(t_2)-x(t_1) = x_2 - x_1$$

Pero no tenemos la libertad de cambiar de $x_2$ o $x_1$, son parte de la información conocida. Nosotros no variar la ruta de acceso en los puntos finales. Así que este término es en realidad irrelevante, y es por eso que el de Euler Lagrange ecuaciones dar cero para este término. Esta es una propiedad crucial de lagrangians: puedo agregar un total derivado a un lagrangiano sin cambiar las ecuaciones de movimiento.

Así que si tiramos de que irrelevante plazo realmente la acción que usted escribió

$$S=\int_{t_1}^{t_2} dt x(t)$$

Desea que la función que minimiza esta integral.

Pero no hay ninguna función que va a hacer que. Por ejemplo, imagine una parábola en la x,t avión conectar $x_1$$x_2$. Cambiando la altura de la parábola puedo hacer la integral arbitrariamente positivo, negativo, o cero. El punto clave es que no hay nada que hace que cualquiera de las parábolas especial.

De forma explícita para que las parábolas de la forma $x(t)=3/2 a t^2$, y elegir el origen de los tiempos, de modo que $t_1=-T$$t_2=T$, tenemos

$$S = \int_{-T}^{T} 3/2 a t^2 = a T^3$$

A continuación,$dS/da=T^3$. En otras palabras, como yo variar, siempre obtengo la misma respuesta para la acción. No hay nada aquí de escoger un especial parábola para minimizar la acción.

Realmente es exactamente el mismo que tratar de encontrar el mínimo de la función $f(u)=u$. En el cálculo que usted está obligado a tomar la derivada y el conjunto es igual a cero, que le da los puntos críticos. Pero si haces eso aquí usted consigue $f'(u)=1=0$, así que ¿por qué? El punto es que no hay valores de $u$ donde$1=0$, por lo que no hay un mínimo. Es el mismo problema.

Lo que esto muestra es que usted realmente necesidad de la cinética del plazo $v^2$ en el lagrangiano. La cinética plazo penaliza a los caminos que han innecesarios salvaje cambios (de la cinética del plazo castiga parábolas con grandes una en el ejemplo de arriba). En el ejemplo anterior en $x_1=x_2=0$ la adición de la cinética de que el término elige una parábola que la partícula en realidad, sigue. donde se lanzó la partícula en el aire y la vio venir hacia abajo (su potencial de $x$ es sólo el potencial de la tierra del campo gravitatorio). La cinética término es realmente lo importante. Una cosa que puedes intentar es considerar sólo parabólico rutas de acción donde agregar un $v^2$ plazo, calcular la acción explcitly por esos caminos, y, a continuación, sólo tienes que encontrar el valor de $a$ que minimiza la acción. Usted no tiene que usar el de Euler Lagrange ecuaciones a todos aquí. (por supuesto, esto sólo funciona ya que usted sabe que la final de la trayectoria es una parábola, pero está demostrando un punto conceptual)

Por cierto, para responder a algunos comentarios sobre el hecho de que las dimensiones no concuerdan realmente no es gran cosa en este caso, usted puede poner un parámetro de $\tau$ frente a la velocidad con unidades de tiempo y, a continuación, trabajan en unidades de $\tau=1$. El problema que vas a encontrar no se ve afectado por mantener a $\tau$.

Answer 2

Cuando usted consigue un absurdo ecuación de movimiento como este, significa que la acción no tiene extremos locales sobre el espacio de todos los posibles caminos. (Como la forma de la curva de $y = x$ no tiene local mínimo o máximo.) No hay camino $x(t)$ de manera tal que la variación de la ruta, produce sólo una de segundo orden (o superior) de la variación en la acción.

De hecho, usted puede ver esto de forma explícita para su Lagrange $\mathcal{L} = \alpha x + \beta \dot{x}$ (constantes insertado para hacer que las unidades de trabajo): empezar con una ruta arbitraria $x(t)$, construir el camino

$$y(t) = x(t) + \epsilon\sin\biggl(\pi\frac{t - t_1}{t_2 - t_1}\biggr)$$

(por ejemplo), y el cálculo de la acción, se obtiene

$$\begin{align}S[y] &= \int_{t_1}^{t_2} \left[\alpha x(t) + \alpha\epsilon\sin\biggl(\pi\frac{t - t_1}{t_2 - t_1}\biggr) + \beta \dot{x}(t) + \frac{\beta\pi\epsilon}{t_2 - t_1}\cos\biggl(\pi\frac{t - t_1}{t_2 - t_1}\biggr)\right]\mathrm{d}t \\ &= \int_{t_1}^{t_2} \left[\alpha x(t) + \beta \dot{x}(t)\right]\mathrm{d}t + \int_{t_1}^{t_2} \alpha\epsilon\sin\biggl(\pi\frac{t - t_1}{t_2 - t_1}\biggr)\mathrm{d}t + \int_{t_1}^{t_2} \frac{\beta\pi\epsilon}{t_2 - t_1}\cos\biggl(\pi\frac{t - t_1}{t_2 - t_1}\biggr)\mathrm{d}t \\ &= S[x] + \frac{2\alpha\epsilon(t_2 - t_1)}{\pi} + 0 \end{align}$$

que es estrictamente mayor que $S[x]$ si $\alpha\epsilon > 0$ y estrictamente menor si $\alpha\epsilon < 0$. En otras palabras, dado cualquier camino de $x(t)$ con la acción $S[x]$, usted puede hacer a otro, arbitrariamente cerca de la ruta con una mayor (o menor) de la acción. Eso significa que, por definición, no es extremal camino.

Que, a su vez, significa que este Lagrangiano es sin sentido, para decirlo sin rodeos. Recuerde, toda la validez del principio de acción estacionaria depende de que los locales extremo de la acción existente en el primer lugar. Sin eso, la derivación de Euler-Lagrange las ecuaciones ni siquiera realmente el trabajo. Es una especie de cómo la validez de la división en álgebra depende del denominador no sea cero - si rompes esa suposición subyacente, su derivación pierde consistencia lógica. Y del mismo modo, cuando intenta utilizar la acción extremization en una acción que no tiene ningún extremo, que acaba de llegar ilógico, absurdo.