Funciones con diferentes codominio de la misma de acuerdo a mi libro?

Question

Mi libro da la siguiente definición:

Una función de $f$ $A$ $B$se define como $f\subseteq A\times B$ que si $(a,b)\in f$ $(a,b_1)\in f$ $b=b_1$ y existe un $(a,b)\in f$ por cada $a \in A$ .

Ahora de acuerdo a esta definición, la función sería la misma, incluso si el codomains son diferentes. Es esto cierto?

Answer 1

Sí. Usted puede cambiar th codominio, y siempre y cuando incluya el rango de $f$, la función es la misma.

Por ejemplo, $\sin\colon\Bbb R\to\Bbb R$ $\sin\colon\Bbb R\to[-1,1]$ son la misma función. O $f(1)=1$ es el mismo si o no $f\colon\{1\}\to\Bbb N$$f\colon\{1\}\to\{0,1\}$.

Como las otras respuestas indican que, en algunos contextos, una función es un triplete, donde el codominio se especifica explícitamente. Puede ser útil conocer el codominio como parte de la función. En conjunto teórico contextos, a veces es mejor tratar una función como un conjunto de pares ordenados con una cierta propiedad.

¿Por qué es útil? Por ejemplo, se prescinde de la necesidad de hablar de "canónica de la inyección", y que sólo podemos hablar de inclusión. Ahora podemos decir que el $f\subseteq g$ al $g$ es una función mayor, o que $f\cap g$ es una función. Nos permite definir funciones parciales más fácilmente, especialmente en el contexto de la lī ogica: podemos definir un predicado que es una función en su dominio, y no es necesario que este dominio es todo el universo de la estructura (de modo que el predicado no puede ser un símbolo de función). Esto es muy útil, por ejemplo, en la teoría de la computabilidad.

Answer 2

Si usted mira una función como un puro conjunto de pares ordenados, entonces sí, su observación es verdadera. Si usted lo mira como un triple $(A,B,\text{set of ordered pairs})$ $B$ es importante. Si reemplaza $B$ en el triple por la imagen (algunos libros llaman rango) de $f$ (algunos $B' \subseteq B$), luego de nuevo a su observación es verdadera.

Básicamente, este es un nit usted no debe preocuparse demasiado acerca de.

Answer 3

Vamos a retroceder un poco-a veces vale la pena pensar en lo que está detrás de una convención.

Así: empiece por pensar en cómo, en la práctica, nos informalmente demostrar que no es exactamente una función que satisface una cierta descripción --- por ejemplo, es un pedido único-isomorfismo entre el$(A, <)$$(B,\prec)$. Debemos demostrar que existe al menos una función, y que no está a más de uno. ¿Cómo hacemos el segundo bit? Nos muestran que si $f$ $f'$ son candidatos, entonces son la misma función. Y ¿cómo hacemos eso? Nos muestran que por cada $a$ entre los objetos $A$, $f(a) = f'(a)$. Pero ¿por qué ese espectáculo que $f$ $f'$ son la misma función?

Sólo lo hace en un extensional comprensión de lo que una función es: estamos tomando funciones no individuada por las normas que nos damos para asociar un argumento con valor, sino por el resultado de la asociación. Por lo tanto, incluso si tenemos dos diferentes reglas de asociación, si generan la misma colección de emparejamientos entre los argumentos y los valores, contamos con las reglas como dos formas diferentes de presentar la misma función.

Ahora, esto no garantiza la definición de funciones como las colecciones de argumento/valor emparejamientos; que la identificación implica otra idea más allá de extensionality, llame a plenitud. Esta es la otra idea de que cualquier vieja asociación de argumentos con los valores (un valor para cada argumento) determina una función, incluso si es de esa asociación, más allá de cualquier posibilidad de que podríamos describirla. Una cosa es decir que las distintas normas puede determinar la misma función (extensionality), otra cosa es decir que no puede haber funciones que no se puede describir de la regla que determina sus valores (que las funciones son como plenitudinous como argumento arbitrario/valor emparejamientos). Tomar el segundo paso puede parecer natural en retrospectiva, pero su aceptación casi universal fue el resultado de un arduo logros conquistados en el siglo 19 las matemáticas.

OK: si vamos por extensionality y plenitud, se convierte en totalmente natural para definir una función de $A$ a $B$ - o quizás deberíamos decir "modelo" o "implementar" una función -- como un conjunto de pares ordenados $(a, b)$ con sólo un par para cada una de las $a$. Que corrige funciones como extensional elementos, y es, naturalmente, entendido como el tipo de funciones como plenitudinous como los correspondientes conjuntos.

De ahí la caracterización de las funciones nos encontramos en la escuela primaria de análisis de textos que implementa las funciones como conjuntos de pares ordenados de tal manera que al cambiar el co-dominio no cambia la función. Eso es porque lo que importa en la escuela primaria, el contexto es de destacar una extensional comprensión de lo que las funciones y el estrés que puede tener funciones asociadas con el no se puede describir la regla de la asociación de argumento a la función.

Ahora seguro que, en más no-tan-primaria contextos puede ser útil para crear de forma explícita en nuestra caracterización de una función el dominio (si vamos a empezar a ocuparse seriamente de funciones parciales) y codominio. Que el refinamiento de no hacer la aplicación en (algunos de) los de primaria textos mal -- que sirve perfectamente para hacer los puntos de primaria textos deben hacer.