En mi respuesta a la reciente pregunta Anidada Raíces Cuadradas, @GEdgar correctamente planteado la cuestión de que la prueba está incompleto, a menos que me muestran que el intermedio de las expresiones de hacer converger a un (finito) límite. Una cantidad tal fue el anidada radical $$ \sqrt{1 + \sqrt{1+\sqrt{1 + \sqrt{1 + \cdots}}}} \etiqueta{1} $$
Para asignar un valor de $Y$ a tal expresión, me propuso la siguiente definición. Definir la secuencia de $\{ y_n \}$ por: $$ y_1 = \sqrt{1}, y_{n+1} = \sqrt{1+y_n}. $$ Entonces podemos decir que esta expresión se evalúa a $Y$ si la secuencia de $y_n$ converge a $Y$.
Para la expresión (1), se podría demostrar que los $y_n$ converge a $\phi = (\sqrt{5}+1)/2$. (Para dar más detalles, que me mostró, a través de la inducción, que $y_n$ aumenta monótonamente y está delimitado por $\phi$, por lo que tiene un límite de $Y < \infty$. Además, este límite debe satisfacer $Y = \sqrt{1+Y}$.) Por lo tanto podríamos decir con seguridad (1) se evalúa a $\phi$, y todo parece estar bien.
Mis problemas. Vamos ahora a probar mi idea propuesta con una expresión más general de la forma $$\sqrt{a_1 + \sqrt{a_2 + \sqrt{a_3 + \sqrt{a_4+\cdots}}}} \etiqueta{2}$$ (Tenga en cuenta que los enlaces de la pregunta implica una tal expresión, con $a_n = 5^{2^n}$.) ¿Cómo podemos decidir si esta expresión converge? La imitación de la definición anterior, podemos escribir: $$ y_1 = \sqrt{a_1}, y_{n+1} = \sqrt{a_{n+1}+y_n}. $$ Sin embargo, extendiendo de esta definición, se obtiene la secuencia de $$ \sqrt{a_1}, \sqrt{a_{2}+ \sqrt{a_1}}, \sqrt{a_3 + \sqrt{a_2 + \sqrt{a_1}}}, \sqrt{a_4+\sqrt{a_3 + \sqrt{a_2 + \sqrt{a_1}}}}, \ldots $$ pero esto parece poco que ver con la expresión (2) que hemos empezado.
Yo no podía venir con formas satisfactorias para resolver el problema. Entonces, mi pregunta es:
¿Cómo puedo rigurosamente definir cuándo una expresión de la forma (2) converge, y también asignar un valor cuando se hace converger?
Gracias.
