Teorema de Taylor en espacios de Banach

Question

Dejemos que $f$ sea una función real de una sola variable real. Supongamos que $f$ es $n$ veces diferenciable en algún $x$ para un número entero $n\geq 1$ . Sin hacer más suposiciones, tenemos

$$ f(x+h) = f(x) + f'(x)h + \frac{f''(x)h^2}{2} + \ldots + \frac{ f^{(n)}(x)h^n}{n!} + o(h^n) $$

aunque esto no nos dice nada sobre el tamaño del error en cualquier vecindad fija de $x$ (se necesitan más supuestos de regularidad para obtener las formas tradicionales para el resto). Wikipedia tiene una prueba de esto que se basa, de todas las cosas, en la regla de L'Hôpital para la cual un prueba también se proporciona.

Recientemente he estado trabajando con los teoremas básicos del cálculo en el entorno del espacio de Banach. No es terriblemente sorprendente y he visto escrito en algunos lugares que la expansión

$$ f(x+h) = f(x) + f'(x)h + \frac{f''(x)h^2}{2} + \ldots + \frac{ f^{(n)}(x)h^n}{n!} + o(\|h\|^n) $$

sigue siendo válido cuando $f$ es un mapa de espacios de Banach $X \to Y$ . En este contexto, el $k$ ª derivada $f^{(k)}(x)$ de $f$ en $x$ es un continuo simétrico, $k$ -mapa lineal $X^k \to Y$ y $h^k$ es la abreviatura de $(h,\ldots,h) \in X^k$ . Me gustaría saber:

¿Cómo puedo demostrar que esta última expansión es válida?

Estoy teniendo problemas para adaptar la prueba del caso de una sola variable porque parece que no puedo demostrar un análogo apropiado de la regla de L'Hôpital. Una prueba estándar de la regla de L'Hôpital depende de Teorema del valor medio de Cauchy y tampoco estoy seguro de que esto admita un análogo en un espacio de Banach. De hecho, creo que también tendría curiosidad por saberlo:

¿Tienen el teorema del valor medio de Cauchy o la regla de L'Hôpital generalizaciones naturales en el contexto de los mapas entre espacios de Banach?

Gracias de antemano por cualquier respuesta.

Answer 1

Los teoremas clásicos del valor medio, como el de Cauchy, fallan cuando el rango es un espacio de mayor dimensión. El resultado clave en el análisis multidimensional es la desigualdad del valor medio: si $u,v\in X$ , $f\colon X\rightarrowtail Y$ es diferenciable en el segmento de línea abierta $]u,v[$ y continua en el segmento cerrado $[u,v]$ entonces $$\|f(u)-f(v)\|\le\sup_{0<t<1}\|f'(u+tv)(u-v)\|.$$ Ahora el teorema de Taylor es obviamente cierto para $n=1$ por definición, y luego se utiliza la inducción. La clave es que el polinomio de Taylor de $f'$ es la derivada del polinomio de Taylor de $f$ . Así pues, por la desigualdad anterior y la hipótesis de inducción, y que $f(x)=T(x)$ , $$\frac{\|f(x+h)-T(x+h)\|}{\|h\|^{n+1}}\le\sup_{0<t<1}\frac{\|(f-T)'(x+th)(h)\|}{\|h\|^{n+1}}<\varepsilon,$$ cuando $\|h\|$ es lo suficientemente pequeño.