límite de producto de $(a_1a_2.\dots a_n)^{\frac{1}{n}}$

Question

Cómo calcular el siguiente límite $$ \lim_{n\rightarrow \infty} \left[ \left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right)\cdots \left(1+\frac{n}{n}\right) \right]^\frac{1}{n} .$$ Yo estaba tratando de esto mediante la adopción de la $\log $ del producto y, a continuación, límite, pero no estoy recibiendo la respuesta podría alguien por favor me ayude. Y, también existe ninguna regla general para calcular el límite de la $$ (a_1a_2.\dots a_n)^{\frac{1}{n}}.$$

Gracias.

Answer 1

Usted debe reconocer el logaritmo como

$$\frac{1}{n} \sum_{k = 1}^n \ln\left(1 + \frac k n\right)$$

que es una suma de Riemann para $\int_1^2 \ln x \, dx$.

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Tan lejos como reglas generales, las cosas son con frecuencia un poco ad hoc. Si usted puede encontrar una suma de Riemann, es útil. Que con frecuencia va a pasar precisamente por el factor de $1/n$ que puede tirar hacia abajo con un registro.

Answer 2

Como se puede comprobar si $$a_{n} = \frac{(n + 1)(n + 2)\cdots (2n)}{n^{n}}$$ then the sequence in question is $a_{n}^{1/n}$. Now we can see that $$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{(n + 2)(n + 3)\cdot (2n)(2n + 1)(2n + 2)}{(n + 1)^{n + 1}}\cdot\frac{n^{n}}{(n + 1)(n + 2) \cdots (2n)}$$ so that $$\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \frac{2(2n + 1)}{n + 1}\cdot\left(\frac{n}{n + 1}\right)^{n} \to \frac{4}{e}$$ as $n \to \infty$ Hence the sequence $a_{n}^{1/n}$ also tends to $4/e$.

En general si $b_{n} = (a_{1}a_{2}\cdots a_{n})^{1/n}$$a_{n} \to L$$b_{n} \to L$.

Answer 3

Tomando el $\log$ de la expresión, llegamos a la suma

$$ \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \log \left( 1 + \frac{k}{n} \right). $$

Esta suma es una suma de Riemann para $\int_1^2 \log(x) \, dx = \left[ x\log x - x\right]_{x=1}^{x=2} = 2\log(2) - 1$. Por lo tanto, el límite es

$$ e^{2\log(2) - 1} = \frac{4}{e}.$$

Answer 4

El registro del producto: $$\frac1n\sum_{k=1}^n\ln\Bigl(1+\frac kn\Bigr)$$ es una suma de Riemann para la función de $\ln(1+x)$, entre los valores de $x=0$$x=1$, por lo tanto el límite es $$\int_0^1\ln(1+x)\,\mathrm d\mkern1mu x =\int_1^2\ln u\,\mathrm d\mkern1mu u=u\ln u-u\,\bigg\vert_{u=1}^{u=2} =2\ln 2-1,$$ por lo tanto, el límite es de $\;\mathrm e^{2\ln 2-1}=\dfrac 4{\mathrm e}.$

Answer 5

Sugerencia:

$$S=\lim _{ n\rightarrow \infty } \left[ \left( 1+\frac { 1 }{ n } \right) \left( 1+\frac { 2 }{ n } \right) \cdots \left( 1+\frac { n }{ n } \right) \right] ^{ \frac { 1 }{ n } }\\ \ln { S } =\lim _{ n\rightarrow \infty } \frac { 1 }{ n } \sum _{ k=1 }^{ n }{ \ln { \left( 1+\frac { k }{ n } \right) } } =\int _{ 0 }^{ 1 }{ \ln { \left( 1+x \right) dx } } $$