Eisenstein Serie y cúspides de $\Gamma_{1}(N)$

Question

Vamos $q = e^{2\pi i\tau}$, $\operatorname{Im}\tau > 0$ y vamos a $$G(\tau) = 1 - 24\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{nq^{n}}{1 - q^{n}}$$ be the weight 2 Eisenstein series for $\Gamma(1)$. Consider the inequivalent cusps of $\Gamma_{1}(N)$. For each cusp, there is an Eisenstein series of weight 2 associated to this cusp. How does one relate this Eisenstein series to a linear combination of $G(k\tau)$'s (for some integers $k$)?

En particular, el caso que yo estoy considerando es al $N = 7$. El no equivalentes cúspides son $0$, $2/7$, $1/3$, $3/7$, $1/2$, y $\infty$. Considerar la cúspide $2/7$ y denotan por $E_{2/7}$ de los asociados de Eisenstein de la serie. Me gustaría escribir $E_{2/7}$ como una suma finita de $G(k\tau)$ para algunos enteros $k$. Uno de los primeros problemas que estoy teniendo es ¿cómo puedo saber el $q$-expansiones de Eisenstein serie de $E_{2/7}$ (que está relacionado con el problema que me parece que no puede encontrar una buena referencia para la definición de un peso de 2 Eisenstein serie asociada a una cúspide)? Segundo, iba a encontrar la deseada combinación lineal de $G(k\tau)$'s de ser sólo un ejercicio en el que la coincidencia de un número finito de coeficientes en el $q$-expansión?

Answer 1

La pregunta tiene algunas hipótesis implícita, posiblemente no clara a la pregunta, y esta implicitación y ambigüedades acerca de que complicar las cosas. En primer lugar, la más natural de las descripciones de Eisenstein, de la serie de GL(2) de los pesos k>2 no de la forma en la pregunta, pero se $\sum_{c,d} 1/(cz+d)^k$. Esto no convergen $k=2$, lo $k=2$ tiene que ser abordado de forma más precisa (a través de una continuación analítica, Hecke suma, la producción de _something_like_ la expresión en la pregunta). Sin embargo, en el nivel uno, que es, por $SL_2(\mathbb Z)$, no es ninguna verdad-holomorphic Eisenstein serie de peso $2$. La continuación analítica tiene un plazo adicional, que se puede descartar, pero luego se destruye el literal automorphy condición. Tal vez eso no importa, pero uno debe ser cuidadoso acerca de "entendimientos".

Por lo tanto, en función de lo que se quiere decir, quiere o necesita, mientras que en los niveles superiores de la meromorphic continuación puede producir holomorphic formas modulares en el nivel 2. (Este resultado positivo siempre se produce de formas modulares de Hilbert, es decir, de la tierra de campos totalmente real de otra cosa que de $\mathbb Q$.) En primer lugar, cualquier descripción que uno elige para "Eisenstein serie" (que se adjunta a cúspides?), una adecuada promedio ponderado del nivel 7 (por ejemplo) debe ser de nivel uno. Un literal noción de holomorphy nos dice que no hay nivel uno, de peso-dos. Por lo tanto, no son (en la mayoría) de las seis linealmente independientes de Eisenstein de la serie en ese nivel, por lo que no es posible para "adjuntar" uno para cada cúspide. No es difícil decir más.

Luego está la otra cuestión de la que expresan diversos Eisenstein de la serie en términos de los otros, por la acción del grupo. En la plaza libre de nivel, el subyacente (!) teoría de la representación es más simple (Iwahori-fija los vectores principales de la serie son bien conocidos, por lo menos a un muy buen punto.)

Pero, en este punto, sin saber con más precisión lo que el interrogador quiere, o puede descubrir que se quiere, hay demasiadas cosas que se pueden decir para saber que elegir a decir. :)

Answer 2

En primer lugar, no estoy seguro exactamente lo que quieres decir por un Eisenstein serie de wt. $2$ asociado a una cúspide.

Tomando constante términos de $q$-expansiones (o, más un canónicamente, tomando los residuos en las cúspides de los asociados de una forma $E(\tau) d\tau$) da un isomorfismo entre el peso $2$ Eisenstein serie en $\Gamma_1(N)$ y el subespacio de $\mathbb C^{\mathrm{cusps}}$ consta de $z_i$ tal que $\sum_i z_i = 0$. (Esto se deduce del teorema de los residuos.)

Me imagino que usted tiene cierta base para el espacio de los residuos en la mente, que se transfieren a través de este isomorfismo una base del espacio de la wt. $2$ Eisenstein de la serie, pero no estoy seguro de cual es.

En cualquier incluso, la mayoría de Eisenstein serie en $\Gamma_1(N)$ no será expresable en términos de $G(\tau)$; sólo da lugar a Eisenstein serie en $\Gamma_0(N)$.