Son de Born-Oppenheimer energías funciones analíticas nucleares posiciones?

Question

Estoy buscando referencias a la bibliografía en la que se explora la suavidad y la analiticidad de valores propios y funciones propias (y de elementos de la matriz en general) de un hamiltoniano que depende de algún parámetro.

Considere, por ejemplo, la configuración original de el Born-Oppenheimer aproximación a la dinámica molecular, donde la función de onda nuclear está momentáneamente en cuenta, y el hamiltoniano se convierte en parametrizadas por las posiciones $\mathbf{R}_m$ de los núcleos, $$ \hat{H}(\mathbf{R}_m)=-\sum_{i=1}^N \frac{\manejadores^2}{2m}\nabla^2_i+\sum_{i>j}\frac{e^2}{|\mathbf{r}_i-\mathbf{r}_j|}-\sum_{i,m}\frac{Z_m e^2}{|\mathbf{r}_i-\mathbf{R}_m|}. $$ Las energías $E_n(\mathbf{R}_m)$, a continuación, convertirse en las funciones de todas las coordenadas nucleares y, por tanto, conforman el panorama de la energía que rige la nuclear wavefunctions' evolución. Desde el aspecto original de la $\mathbf{R}_m$ es en la analítica (bueno, meromorphic) funciones de $\frac{1}{|\mathbf{r}_i-\mathbf{R}_m|}$, yo esperaría que la dependencia de la $\mathbf{R}_m$ a ser meromorphic (y sin duda espera significado físico de los polos y los cortes de ramas).

Lo que estoy buscando es que las referencias a la bibliografía que se va a establecer o refutar los resultados de este tipo en general como una opción posible. En particular, dado un hamiltoniano que depende de un conjunto de parámetros de $z_1,\ldots,z_m$ en un definido adecuadamente analítica manera, me gustaría ver los resultados constitutivo de la analiticidad de los elementos de la matriz (y así, por ejemplo, de los autovalores) de la participación de los vectores propios de la hamiltoniana. Yo también estaría interesado en saber qué cantidades puede ser extendida de manera analítica del plano complejo.

Cualquier y todos los punteros será muy apreciada.

Answer 1

Supongamos que para todos los $z$ en algunas conjunto abierto $Z$ de los números complejos que contengan $z_0$, el Hamiltoniano $H(z)$ es un compacto de la perturbación de la auto-adjoint $H(z_0)$, en función analíticamente en $z$. Luego, para cada autovalor $E_0$ $H(z_0)$ y asociados normalizado eigenstate $\psi_0$, existe un complejo vecindario $N$ $z_0$ y funciones únicas $E(z)$$\psi(z)$, definido y analítica en $N$, de tal manera que $E(z_0)=E_0$, $\psi(z_0)=\psi_0$, y $H(z)\psi(z)=E(z)\psi(z)$ $\psi_0^*\psi(z)=1$ todos los $z\in N$.

La prueba es esencialmente el teorema de la función inversa en un espacio de Banach para el no lineal resultante del sistema, combinado con el teorema espectral aplicado a $H(z_0)$. Supongo que usted puede encontrar los antecedentes pertinentes de los resultados (si no una perturbación declaración similar a la anterior) en el antiguo libro de Kato.

Ninguna suposición es necesario que $H(z)$ es uno mismo-adjoint (no sería el caso para todos los $z\in Z$ si $H(z)$ es constante). Por supuesto, los autovalores generalmente se mueven en el complejo dominio de si $z_0$ era real, pero $z$ es complejo.

El debilitamiento de los supuestos que se requieren más fuerte (el llamado "duro") de las formas del teorema de la función inversa, que generalmente toma mucho tecnicismo para el estado y verificar.