¿Qué es un cociente del anillo y cosets?

Question

Así que estoy tratando de entender lo que es un coset es y lo que es un cociente de anillo.

Así que me voy a decirles a ustedes lo que yo sé. Y por favor, hágamelo saber si mi pensamiento es correcto o incorrecto, y si me falta algo. Para el resto de este post, suponga que R es un anillo e I es un ideal de ese anillo.

Por lo $I = (m)$ es un director ideal generado por a $m$ donde $m \in R$.

Ahora la congruencia de la clase de $a$ $I$ se denota por a $[a]_m$ pero esta congruencia clase también puede ser escrito como $a + (m)$ o, simplemente,$a + I$. ahora esta congruencia de la clase es, obviamente, un conjunto. Así es este el coset de ella? Así que para cualquier $a$ que usted elija en $R$ "agregar" el ideal (generado por m, que también está en R), se obtiene un coset.

El anillo cociente R/I, sólo significa que TODOS los cosets de I en R. por lo que Lo hace decir que si, hipotéticamente hablando, m = 3, entonces 1 + (3) es un coset, 2 + (3) es otro de los coset y, por tanto, el cociente del anillo es de TODOS los cosets para cada una?

Espero tener sentido. Si alguien me podria enviar un vínculo a un fácil (introducción al álgebra) en el artículo o de un "tutorial", que se agradece. Estoy usando Hungerford Álgebra.

Si alguien puede explicar esto a mí en easy english, que se agradece.

Gracias

Answer 1

Recuerda que cada relación de equivalencia induce una partición en el conjunto en el que ha definido la relación. Ideal $I$ define una relación de equivalencia en el conjunto de $R$ diciendo que $a\sim b$ si y sólo si $a-b\in I$; podemos expresar esto diciendo que la $a$ es congruente a $b$ modulo $I$.

Eso significa que $R$ se reparte en clase de equivalencia en virtud de este "congruente modulo $I$" relación. Las clases de equivalencia se llama "cosets" (yo dije hace algún tiempo, esta es la forma corta de "congruencia conjunto", pero han sido incapaces de fundamentar esto; pero usted seguramente puede imaginar que lo es). Los cosets son las clases de equivalencia.

Ahora, ¿cuál es la clase de equivalencia de un $a\in R$? es el conjunto de todas las cosas que son congruentes a $a$ modulo $I$; este consiste exactamente todos los elementos de la forma$a+x$$x\in I$, por lo que podemos escribir como $$a + I = \{ a+x \mid x\in I\}.$$ Esta es su descripción como un conjunto. Si queremos pensar en esto en términos de la relación de equivalencia y recuerda que es la clase de equivalencia de a $a$, luego usamos la notación estándar para clases de equivalencia y escribir $[a]$ (o $[a]_I$ o $[a]_m$, para recordarnos también de que ideal $I$ que estamos tratando).

Cuando se pregunta si $a+I$ es "el coset de ella", es claro para mí que "es". Pero, $a+I$ es la clase de equivalencia de a $a$, por lo que es el coset de $a$ (desde "el coset de $x$" sólo significa "la clase de equivalencia de a $x$ bajo la relación de equivalencia 'congruentes modulo $I$'").

La razón por la que cuando "agregar" el ideal de obtener el coset es sólo a causa de lo que la definición de la relación de equivalencia es: cada elemento de la forma $a+i$ es congruente a $a$ modulo $I$, debido a $a-(a+i) = -i\in I$; y si $b$ es congruente a $a$ modulo $I$, $a-b=i$ algunos $i\in I$, con lo que conseguimos que el %de$b=a-i$. Es decir, cada elemento de la forma $a+x$ $x\in I$ es en el coset, y todo en el coset es de la forma$a+x$$x\in I$. Por lo que la notación $a+I$ es tanto sugerente y útil.

Ahora, el conjunto de $R/I$ es sólo el conjunto de clases de equivalencia; como un conjunto, los elementos son los cosets. Cada coset tiene muchos nombres diferentes, ya que $[a]_I = [b]_I$ siempre $a\sim b$.

Como un anillo, $R/I$ es el anillo cuyos elementos son los cosets/clases de equivalencia, y cuyas operaciones $\oplus$ $\odot$ son definidos por $$\begin{align*} [x]_I \oplus [y]_I &= [x+y]_I,\\\ [x]_I\odot[y]_I &= [x\cdot y]_I \end{align*}$$ donde $+$ $\cdot$ son las operaciones en $R$. (Después de soltar la distinción entre el$+$$\oplus$, pero el punto aquí es que son operaciones definidas sobre conjuntos diferentes, por lo que son realmente funciones diferentes, aunque estrechamente relacionadas).

En tu ejemplo, sí: $R/I$ es la colección de todos los cosets, pero recuerde que la misma coset puede tener muchos nombres diferentes. Así, por ejemplo, si $R=\mathbb{Z}$$I=(3)$, $R/I$ se compone de todos los cosets, que son conjuntos de la forma $$a + (3) = \{ \ldots, a+3(-2), a+3(-1) , a+3(0), a+3(1), a+3(2), a+3(4),\ldots\}$$ para todos los $a$. Pero como sucede, cada coset es igual a $0+(3)$, $1+(3)$, o $2+(3)$, lo que en realidad $R/I$ tiene sólo tres elementos, aunque cada uno de esos elementos tiene infinidad de nombres: $$\begin{align*} 0+(3) &= 3+(3) = 6+(3) = 9+(3) =\cdots = 3k+(3),\\ 1+(3) &= 4+(3) = 7+(3) = 10+(3) = \cdots = 3k+1 + (3)\\ 2+(3) &= 5+(3) = 8+(3) = 11+(3) = \cdots = 3k+2 + (3) \end{align*}$$