Recuerda que cada relación de equivalencia induce una partición en el conjunto en el que ha definido la relación. Ideal $I$ define una relación de equivalencia en el conjunto de $R$ diciendo que $a\sim b$ si y sólo si $a-b\in I$; podemos expresar esto diciendo que la $a$ es congruente a $b$ modulo $I$.
Eso significa que $R$ se reparte en clase de equivalencia en virtud de este "congruente modulo $I$" relación. Las clases de equivalencia se llama "cosets" (yo dije hace algún tiempo, esta es la forma corta de "congruencia conjunto", pero han sido incapaces de fundamentar esto; pero usted seguramente puede imaginar que lo es). Los cosets son las clases de equivalencia.
Ahora, ¿cuál es la clase de equivalencia de un $a\in R$? es el conjunto de todas las cosas que son congruentes a $a$ modulo $I$; este consiste exactamente todos los elementos de la forma$a+x$$x\in I$, por lo que podemos escribir como
$$ a + I = \{ a+x \mid x\in I\}.$$
Esta es su descripción como un conjunto. Si queremos pensar en esto en términos de la relación de equivalencia y recuerda que es la clase de equivalencia de a $a$, luego usamos la notación estándar para clases de equivalencia y escribir $[a]$ (o $[a]_I$ o $[a]_m$, para recordarnos también de que ideal $I$ que estamos tratando).
Cuando se pregunta si $a+I$ es "el coset de ella", es claro para mí que "es". Pero, $a+I$ es la clase de equivalencia de a $a$, por lo que es el coset de $a$ (desde "el coset de $x$" sólo significa "la clase de equivalencia de a $x$ bajo la relación de equivalencia 'congruentes modulo $I$'").
La razón por la que cuando "agregar" el ideal de obtener el coset es sólo a causa de lo que la definición de la relación de equivalencia es: cada elemento de la forma $a+i$ es congruente a $a$ modulo $I$, debido a $a-(a+i) = -i\in I$; y si $b$ es congruente a $a$ modulo $I$, $a-b=i$ algunos $i\in I$, con lo que conseguimos que el %de$b=a-i$. Es decir, cada elemento de la forma $a+x$ $x\in I$ es en el coset, y todo en el coset es de la forma$a+x$$x\in I$. Por lo que la notación $a+I$ es tanto sugerente y útil.
Ahora, el conjunto de $R/I$ es sólo el conjunto de clases de equivalencia; como un conjunto, los elementos son los cosets. Cada coset tiene muchos nombres diferentes, ya que $[a]_I = [b]_I$ siempre $a\sim b$.
Como un anillo, $R/I$ es el anillo cuyos elementos son los cosets/clases de equivalencia, y cuyas operaciones $\oplus$ $\odot$ son definidos por
$$\begin{align*}
[x]_I \oplus [y]_I &= [x+y]_I,\\\
[x]_I\odot[y]_I &= [x\cdot y]_I
\end{align*}$$
donde $+$ $\cdot$ son las operaciones en $R$. (Después de soltar la distinción entre el$+$$\oplus$, pero el punto aquí es que son operaciones definidas sobre conjuntos diferentes, por lo que son realmente funciones diferentes, aunque estrechamente relacionadas).
En tu ejemplo, sí: $R/I$ es la colección de todos los cosets, pero recuerde que la misma coset puede tener muchos nombres diferentes. Así, por ejemplo, si $R=\mathbb{Z}$$I=(3)$, $R/I$ se compone de todos los cosets, que son conjuntos de la forma
$$ a + (3) = \{ \ldots, a+3(-2), a+3(-1) , a+3(0), a+3(1), a+3(2), a+3(4),\ldots\}$$
para todos los $a$. Pero como sucede, cada coset es igual a $0+(3)$, $1+(3)$, o $2+(3)$, lo que en realidad $R/I$ tiene sólo tres elementos, aunque cada uno de esos elementos tiene infinidad de nombres:
\begin{align*}
0+(3) &= 3+(3) = 6+(3) = 9+(3) =\cdots = 3k+(3),\\
1+(3) &= 4+(3) = 7+(3) = 10+(3) = \cdots = 3k+1 + (3)\\
2+(3) &= 5+(3) = 8+(3) = 11+(3) = \cdots = 3k+2 + (3)
\end{align*}
