Será un oscilador armónico amortiguado, sin inicial de amplitud, oscilan si hay antecedentes "ruido"?

Question

Supongamos que tengo un oscilador armónico amortiguado que está en reposo, sentado cómodamente, sin inicial de amplitud, obedeciendo a la ecuación

$$\ddot{x} + \frac{1}{Q}\dot{x} + x = 0$$

donde x es la amplitud vertical y Q es el factor de calidad. En $t = 0$, $x = 0$.

Ahora, supongamos que el modelo de mi sistema para incluir algún tipo de pequeño pertubation, tales como el calor. Podemos modelar este como al azar, Gauss-vibraciones similares: por ejemplo, el ruido blanco. La ecuación se convierte en:

$$\ddot{x} + \frac{1}{Q}\dot{x} + x = N(t)$$

donde $N(t)$ es algún número al azar de la función en forma de una distribución de Gauss.

Será este el ruido perturba el oscilador y darle una pequeña cantidad de amplitud, y podemos esperar para ver un diagrama como el siguiente para tal caso?

Esta es una simulación corrí y me pregunto si estos pequeños aleatoria de las perturbaciones que pondrá en marcha el oscilador y la causa de las típicas, sin embargo, el azar, sinusoidal de comportamiento.

Answer 1

La respuesta debe ser sí, porque se aplica una fuerza, entonces, habrá un poco de movimiento (si no hay ningún movimiento, entonces las leyes de Newton sería violado por supuesto).

El applitude más probable es que sea pequeña y la amortiguación plazo asegurarse de que sigue siendo pequeño. Si no hay amortiguación plazo podría tener un fuerte oscilación.

La forma de la gráfica más probable es que sea similar a lo que sugieren basado en las oscilaciones en la frecuencia natural del sistema -, pero me temo que no entiendo exactamente a qué te refieres por $N(t)$ y que, por supuesto, tienen una fuerte influencia en el movimiento.

Esto me recuerda el problema con un puente en Londres , que no tienen amortiguación donde la frecuencia natural estaba cerca de la frecuencia de las personas que caminan. Se fija el puente poniendo de amortiguación.

Answer 2

La posición de la masa, como una función del tiempo, simplemente será un filtrado la versión del ruido aleatorio 'entrada' de la señal. Para ver esto en el dominio de la frecuencia, tomar la (magnitud de la transformada de Fourier de ambos lados y reorganizar:

$$|X(\omega)| = \frac{1}{\sqrt{\left(1 - \omega^2\right)^2 + \frac{1}{Q^2}\omega^2}}|N(\omega)|$$

Para $\omega = 1$, tenemos

$$|X(1)| = Q|N(1)|$$

Así, para un gran $Q$ (muy bajo-amortiguada), la función de posición, tendrá un fuerte componente senoidal en $\omega = 1$.

Para los más pequeños de $Q$, la función de posición debe ser un "alisado" versión de la entrada de la función de ruido desde frecuencias muy por encima de $\omega = 1$ caen a un ritmo de aproximadamente 40 dB /década.

Una parcela de la (magnitud) de la función de transferencia $\frac{X(\omega)}{N(\omega)}$ para los distintos valores de $Q = \frac{1}{2\zeta}$ parece:

Answer 3

No creo que usted realmente necesita una respuesta. La respuesta es sí y además de lo que han hecho es un muy buen modelo de los efectos del ruido sobre el oscilador amortiguado. Estoy asumiendo que usted tiene la cantidad normalizada de frecuencias, de modo que el oscilador de frecuencia natural $\omega_n$ es una unidad.

El único factor que no hemos mencionado y que parecen haber pasado por alto es la densidad espectral del ruido $N(t)$. Usted puede asumir que el ruido va a ser muy de banda ancha en comparación con su oscilador del ancho de banda, en cuyo caso $N(t)$ será una correlación de la secuencia de números de la varianza, dado por $\sigma^2 = \eta\,\int_{-infty}^\infty |H(\omega)|^2\,\mathrm{d}\omega$ donde $\eta$ es la densidad espectral de potencia del ruido y de las $H(\omega)$ la transformada de Fourier de su oscilador de la unidad de respuesta de impulso. De lo contrario, puede que desee pensar en el tipo de mecánica / otros efectos que puede producir el ruido, y por lo tanto hacer que $N(t)$ una secuencia de variables que están correlacionadas pasando blanco Gaussiano (sin correlación) de ruido a través de los modelos de la producción de ruido mecanismo, que de por sí es probable que sea de los sistemas descritos por lineal de ecuaciones diferenciales ordinarias exactamente como la tuya. Así que de cualquier manera que usted va a terminar de alimentación de Gauss, la no correlación de ruido, ya sea directamente en el sistema o a través de una modificación del sistema.