Como probar que la forma $(0,1)$ no es exacta $\overline\partial$

Question

En una variedad compleja, si estamos tratando con el operador $d$, hay una forma bastante fácil de mostrar que alguna forma no es $d$-exacta, simplemente integrando en un lazo cerrado. Si puedes encontrar un lazo que está cerrado, pero da una integral distinta de cero para tu forma, entonces sabes que la forma no es $d$-exacta.

Sin embargo, no puedo encontrar una prueba equivalente para formas $\overline\partial$-exactas. Mi comprensión intuitiva del espacio vectorial complejo es un poco incierta, pero creo que si integramos $\overline\partial f$ en un lazo cerrado, obtendremos $-\int\partial f$ en ese lazo, de lo cual realmente no sabemos nada. No podemos encontrar un lazo en el cual $\int\partial f$ sea necesariamente cero, o necesariamente algo específico.

¿Hay alguna forma de salvar este método, o hay otra forma de demostrar la $\overline\partial$-exactitud? Cualquier resumen sobre cómo abordar este tipo de problema también es bienvenido.

Answer 1

Ciertamente, si $\alpha$ es una forma $(0,1)$ que es $\overline{\partial}$-exacta, también debe ser $\overline{\partial}$-cerrada, ya que $\overline{\partial}^2 = 0$. Por lo tanto, si $\alpha$ no es $\overline{\partial}$-cerrada, no puede ser $\overline{\partial}$-exacta.

Supongamos entonces que $\alpha$ es $\overline{\partial}$-cerrada. En este caso, mi entendimiento es que tu pregunta es profunda, y la respuesta depende en gran medida de la geometría compleja de la variedad en la que estás trabajando (mientras que para el operador $d$, saber si una forma es exacta es esencialmente topológico).

Si tu variedad es $\mathbb{C}^n$ o un politopo, el lema de Poincaré para $\overline{\partial}$ dice que $\alpha$ es necesariamente $\overline{\partial}$-exacta. No soy un experto en este campo, pero mi entendimiento es que si tu variedad es fuertemente pseudoconvexa, entonces $\alpha$ es necesariamente $\overline{\partial}$-exacta (creo que esto es el teorema B de Cartan).

Un teorema central para encontrar soluciones a $\overline{\partial}u = \alpha$ es el teorema de Hormander, que da condiciones que te permiten encontrar una solución que tiene algunas propiedades agradables en $L^2$.

Bo Berndtsson tiene algunas notas llamadas "An introduction to things $\overline{\partial}$" que me parecen bastante legibles. Dror Varolin también tiene algunas notas llamadas "Three Variations on a Theme in Complex Analytic Geometry" que podrían ser útiles. También puede que quieras mirar este manuscrito de Demailly, pero parece que podría ser un poco más difícil.

Espero que algo de esto te sea útil.