Inversa de la función logarítmica natural $y =\ln x$

Question

Por supuesto, es un hecho bien conocido que la inversa de $y=\ln x$ (logaritmo natural de x) es $e^x$ .

Suponiendo que no hayamos oído hablar de la función exponencial, ¿cómo demostramos que la inversa de $\ln x$ es decir ( $\ln^{-1} x$ ) es alguna otra función, que efectivamente es la llamada función exponencial $e^x$ ?

Permítanme ser un poco más concreto. Si $y = \ln x$ entonces $x= A^y$ ¿Cómo puedo demostrar que $A= e$ ?

Hay otro método por el que intenté llegar a la inversa del logaritmo natural de $x$ .

Por un teorema de diferenciación de funciones inversas

$$\left.\dfrac{df}{dx}\right|_{x=a} \cdot\left.\dfrac{df^{-1}}{dx}\right|_{x=f(a)}=1$$

Obtuve una ecuación que se parecía a

$$\left.\dfrac{dF(x)}{dx}\right|_{x=\ln k}=k$$ donde $k$ es un número real.

¿Cómo puedo demostrar que $F(x)$ es esa misma función exponencial $e^x$ ?

¿Existe alguna forma de resolver dicha ecuación o dicho problema? ¿O sólo estoy diciendo tonterías? Me encantaría que todos ustedes me iluminaran.

Gracias de antemano. :)

Answer 1

Mi enfoque sería bastante sencillo.

Defino el logaritmo como

$$\log x =\lim\limits_{h \to 0}\frac{x^h-1}{h}$$

Defino $e$ como el número único tal que

$$\log e =1$$

Entonces, por la propiedad de que $$\alpha \log x =\log x^{\alpha}$$

---

$$\log x^{\alpha} =\lim\limits_{h \to 0}\frac{x^{\alpha h}-1}{h}$$

$$\log x^{\alpha} =\alpha\lim\limits_{h \to 0}\frac{x^{\alpha h}-1}{\alpha h}$$

Ahora dejemos que $\alpha h =t$ de donde

$$\log x^{\alpha} =\alpha\lim\limits_{t \to 0}\frac{x^{t}-1}{t}=\alpha \log x$$

---

está claro que al multiplicar por $x$

$$x \log e =x$$

$$ \log e^x =x$$

para que $e^x$ es el único número que satisface

$$ \log e^x =x$$

De ahí se desprende $y=e^x$ es la cartografía inversa de $y=\log x$ .

Answer 2

Suponiendo que tenemos $\ln x$ y no $e^x$ podemos suponer que hemos definido $\ln x$ como antiderivada de $x^{-1}$ Es decir:

$$ \ln x = \int_1^x t^{-1} \; dt.$$

Este es, de hecho, un enfoque estándar que se puede tomar para definir logaritmos y exponenciales en Calc I o II (ver las "Páginas grises" de Stewart en Cálculo y otros lugares).

Entonces obtenemos $(\ln x)' = x^{-1}$ . Si $g(x)$ es un inverso para $f(x) = \ln x$ entonces

$$ g'(x) = \frac{1}{f'(g(x))} = \frac{1}{(g(x))^{-1}} = g(x).$$

En otras palabras, la función inversa de $\ln x$ satisface la ecuación diferencial $g'(x) = g(x)$ . Además, tenemos $g(0) = 1$ (ya que $\ln 1 = 0$ ). En este punto, si hemos definido $e^x$ en algún otro contexto, entonces encontramos que $g(x)=e^x$ satisface el problema de valor inicial. Por la singularidad, $g(x) = e^x$ debe ser la inversa de $\ln x$ .

Espero que esto ayude.

Answer 3

Lo siento, pero su primer enfoque parece un poco extraño. El mapa $y \mapsto \log y$ (convenientemente definido) puede ser invertido. Pero cómo se puede decir que su inversa tiene la forma $x \mapsto A^x$ para algunos $A>0$ ? Si sabes esto, entonces se deduce fácilmente que $A=e$ . Para entender la sutil inconsistencia de su pregunta, inviértala: suponga que $x \mapsto e^x$ es invertible. ¿Tiene sentido preguntar para qué valor de $b \neq 1$ la inversa tiene la forma $y \mapsto \log_b y$ ? Supongo que no.

Answer 4

No sé a qué nivel responder a esta pregunta, pero ahí va: Depende de cómo estés "definiendo las funciones en cuestión" y luego, una vez definidas demuestres que las otras definiciones son equivalentes... o simplemente demuestres que la inversa es exp(x). Por ejemplo, definamos (para x > 0) ln x = integral 1 a x de dt/t... de esta definición se desprende que ln así definida es una función logarítmica. Entonces la definición natural para e es la x para la que ln x = 1. Pero ahora quieres demostrar o bien que se trata de la misma e que una definida de otra manera, o bien quieres demostrar que e^x es la función inversa de ln x (esto sigue la forma en que hemos definido e y ln aquí por los comentarios de 5Tom y Gedgar) Así que quizás quieras demostrar que con esta definición de e, d/dx (e^x) = e^x, pero esto se deduce porque ln es diferenciable con todas las derivadas positivas en su dominio, así que d/dx(e^(ln x)) por un lado es 1 y por otro lado es (1/x)(d/dx e^u)|u=ln x, lo que te da el resultado que quieres. Si hay otras identidades que quieres mostrar son esta misma e, este puede ser el bloque de construcción.