La condición para un tensor de ser descomponible

Question

Deje $V$ ser un espacio vectorial de dimensión 3 con base $e_1,e_2,e_3$. Deje $W$ ser un espacio vectorial de dimensión 2 con base $f_1,f_2$. Es $e_1\otimes f_1+e_2\otimes f_2$ degradables? ¿Qué acerca de la $e_1\otimes f_2+e_1\otimes f_3-e_2\otimes f_2-e_2\otimes f_3$? ¿Cuál es la condición para un tensor de $$ v=\sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^2 a_{i,j} e_i \otimes f_j $$ para ser descomponible, es decir, que tiene la forma$v\otimes w$$v\in V, w\in W$. Como una pregunta relacionada, si me dan dos espacios vectoriales de dimensiones con $m,n$ y bases dadas, ¿cuál es la condición para un tensor en $V\otimes W$ a ser descomponible?

Yo creo que esto tiene algo que ver con la independencia lineal, pero no estoy muy cómodo con el producto tensor, así que no estoy realmente seguro de por dónde empezar.

Answer 1

$\newcommand\P{\mathbb{P}}$Deje $V$ $W$ ser complejo espacios vectoriales, y vamos a $\P(V)$, $\P(W)$ y $\P(V\otimes W)$ ser los espacios proyectivos conectado a $V$, $W$ y $V\otimes W$, respectivamente. Si $v\in V$ es distinto de cero, voy a denotar por $[v]$ el punto de $\P(V)$ correspondiente a ella; es la clase de equivalencia de a $v$ $V\setminus0$ para la equivalencia de la relación de dependencia lineal.

Desde decomposability de un tensor no cambia cuando se multiplica por un valor distinto de cero escalar, podemos hablar de la indecomposable elementos de $\P(V\otimes W)$. Tu pregunta es más o menos equivalente a

¿cómo podemos describir el conjunto de indecomposable elementos de $\P(V\otimes W)$?

Ahora, hay un mapa de $f:\P(V)\times\P(W)\to\P(V\otimes W)$ que se asigna a$([v],[w])$$[v\otimes w]$. Este es un mapa de variedades proyectivas (en el sentido de la geometría algebraica) y su imagen es, precisamente, el conjunto de indecomposable tensores. La imagen es de hecho una subvariedad de $\P(V\otimes W)$, lo que significa que es el común de la puesta a cero de un conjunto finito de polinomios. La búsqueda de estos polinomios es un clásico problema resuelto hace mucho tiempo; ver Segre incrustación para obtener más información (la mayoría de las introducciones a la geometría algebraica va a decir algo así).

En el caso especial donde$\dim V=3$$\dim W=2$, con bases de $\{x_1,x_2,x_3\}$$\{y_1,y_2\}$, queremos que los coeficientes de un tensor $$\sum_{\substack{1\leq i\leq 3\\1\leq j\leq2}}f_{i,j}x_i\otimes y_j$$ a ser igual a un producto de $$\Bigl(\sum_{1\leq i\leq 3}v_ix_i\Bigr)\otimes\Bigl(\sum_{1\leq j\leq 2}w_iy_i\Bigr).$$

Es fácil ver que debemos tener $$f_{i,j}f_{k,l}=f_{k,l}f_{i,l}$$ for all $i,k\in\{1,2,3\}$ and all $j,l\en\{1,2\}$ for that to happen, and some work will show that these conditions are in fact sufficient. We can express all these conditions by saying that the matrix $$\begin{pmatrix}f_{1,1}&f_{1,2}\\f_{2,1}&f_{2,2}\\f_{3,1}&f_{3,2}\end{pmatrix}$$ has rank $1$. Demostrar esto es "sólo" de álgebra lineal.

La respuesta en el caso general, donde las dimensiones son arbitrarias, es el mismo espíritu.

N. B.: es interesante saber que a la pregunta "que los tensores tienen rango $k$?" al $k\geq2$ y hay más de dos factores es mucho, mucho más difícil, y muy importante, creo que este es sin resolverse en general. Alguien que sepa geometría algebraica puede ser capaz de decirnos.