Álgebra de Hopf de la estructura de la envolvente universal de álgebra de Leibniz álgebra?

Question

Un álgebra de Leibniz L puede ser pensado como un no conmutativa la generalización de una Mentira álgebra. Cae el requisito de que el soporte se alternan y sustitutos de la identidad de Jacobi para el Leibniz de identidad

[x,[y,z]] = [[x,y],z] + [y,[x,z]]   for all x,y,z in L

Observación. Lo que se definió anteriormente es una izquierda álgebra de Leibniz. También existe la noción de un derecho álgebra de Leibniz, donde el Leibniz de identidad ahora dice que es el derecho de multiplicación [, x], que es una derivación, en lugar de la izquierda multiplicación [x,] como en la ecuación anterior.

Desde el soporte ya no es la alternancia, a la izquierda y a la derecha las multiplicaciones no están relacionadas simplemente una señal como en el caso de álgebras de Lie, y esto significa que las representaciones en general admitir dos acciones de L: uno a la izquierda y uno a la derecha, la satisfacción de algunas de las identidades que se explican, por ejemplo, en un papel de Loday (que parece que se ha introducido el concepto) y Pirashvili (de Matemáticas. Ann. 296 (1993) pp 139-158). En ese documento también se define la envolvente universal de álgebra U(L) de un álgebra de Leibniz L y demostrar que el no es una categoría de la equivalencia entre las representaciones de L y a la izquierda de los módulos de más de U(L). (Derecho módulos de U(L) corresponde a la noción de corepresentation.) Observe también que en ese papel que trabajar con la derecha álgebras de Leibniz, así que todo lo que hay es la imagen en espejo de lo que yo estoy diciendo aquí. Una diferencia con el caso de una Mentira álgebra es que U(L) es el cociente del tensor de álgebra de L\oplus L, para tomar en cuenta las dos acciones de L en una representación.

Mi pregunta es si existe un álgebra de Hopf de la estructura en U(L).

Mi interés en esta cuestión es que en algunos trabajos recientes sobre la deformación de la teoría de la n-álgebras de Leibniz, estudié cohomology con valores en una representación M de un álgebra de Leibniz L y también con los valores en el Extremo(M). La acción de la L en el Extremo(M) de la siguiente manera desde el formalismo y uno puede comprobar que es de hecho una representación, pero de ello no se sigue de ninguna manera obvia de la acción de L a M. En la Mentira de la teoría, estamos acostumbrados a que el hecho de que si M es un (finito-dimensional) representación de una Mentira álgebra G, entonces tenemos un isomorfismo Final(M) = M \otimes M^* como representaciones de G, donde para determinar la acción de G en M \otimes M^* se utiliza el álgebra de Hopf de la estructura de U(G). De ahí mi pregunta.

EDIT: voy a añadir más detalles acerca de U(L), como se pide en el comentario de abajo por Theo Johnson-Freyd.

Para motivar es, primero vamos a definir una representación M de un (a la izquierda) Leibniz álgebra L es un espacio vectorial de admitir dos acciones de L:

  (x,m) \mapsto [x,m]  and  (m,x) \mapsto [m,x] for all m in M and x in L

la satisfacción de tres identidades, que se obtienen a partir de la de Leibniz identidad principalmente por la sustitución de x,y,z en vez de m; es decir,

           [m,[x,y]] = [[m,x],y] + [x,[m,y]]

           [x,[m,y]] = [[x,m],y] + [m,[x,y]]

           [x,[y,m]] = [[x,y],m] + [y,[x,m]]

Para definir U(L) comenzamos con el tensor de álgebra T(L+L) de L \oplus L. sea l_x = (x,0) y r_x = (0,x) en L \oplus L. Entonces, U(L) es el cociente de T(L+L) por las dos caras, ideal generado por los siguientes elementos (que se puede leer en las condiciones de la definición de una representación):

r_[x,y] - r_y r_x - l_x r_y

l_x r_y - r_y l_x - r_[x,y]

l_x l_y - l_y l_x - l_[x,y]

para todo x e y en L, y donde he omitido los \otimes.

Observe que la adición de los dos primeros, se puede sustituir una de ellas por el simple

r_y (l_x + r_x) = 0

No sé lo que el coalgebra estructura es, sin embargo. Eso es parte de la pregunta original.

Answer 1

¿Sabe usted el papel de Loday y Pirashvili? Hablan de lo que, en su opinión, debe reemplazar la noción de un álgebra de Hopf en Leibniz", álgebras de Hopf en la categoría de los lineales de los mapas".

Answer 2

Hay más de una versión de lo que debería ser universal que envuelve el álgebra de Leibniz álgebra. Una versión de un álgebra asociativa, y otro (en mi opinión la mejor) es un álgebra de Hopf en el Loday-Pirashvili tensor de la categoría (artículo mencionado anteriormente y de seguimiento de los artículos). Ambos tienen las mismas categorías de módulos. La geometría interna en el LP tiene una mejor oportunidad en la descripción natural de diversos temas. No sólo envuelve el álgebra puede ser construían allí, sino también el interno adecuado de Hopf análogos de GL(n) (obra inédita de la mina) y el interior de álgebras de Weyl (trabajo de un alumno de la mina). Creo que en cierto programa de la obtención de una teoría de Leibniz grupos a lo largo de estas líneas.

Answer 3

Deje $L$ ser el abelian Leibniz álgebra de dimensión $n$. A continuación, $U(L)$ es la polinomial de álgebra $k[X_1, \cdots, X_n, Y_1, \cdots, Y_n]$ sujeto a las relaciones: $$ X_i X_j = X_j X_i, \quad X_j Y_i = Y_i X_j = - Y_j Y_i $$ para todos $i$, $j$. A continuación, $U(L)$ no es un álgebra de Hopf (con las habituales estructuras, es decir, $X_i$ $Y_i$ son primitivas) desde los dos lados ideal no es un coideal.