¿Cuáles son las condiciones para $n^2 \nmid(n-1)!$

Question

P: ¿cuáles son las condiciones para $n^2 \nmid (n-1)!$, dado que el$2\le n \le 100$$n\in \mathbb{N}$?

Según yo, las dos condiciones deben ser:
1. $n$ es un número primo (ya que la factorización de $(n-1)!$ no tienen un $n$ cuando n es primo).
2. $n = 2\times$(primer número). (Porque si $p$ es el número primo tal que $n=2p$, $(2p-1)!$ tienen sólo una $p$ en la descomposición en factores primos, pero necesitamos los dos.)

¿Hay alguna otra condición para $n^2\text{does not divide} ((n-1)!)$ ?

Answer 1

Si $n$ tiene (al menos) dos distintos factores primos -- decir $p$$q$ --, a continuación, observe que los factores $\frac{n}{p}$, $\frac{n}{q}$, $p$, y $q$ multiplica para obtener $n^2$. Así que nos gustaría escribir $$ n^2 = \frac{n}{p} \cdot \frac{n}{p} \cdot p \cdot p \; \mid \; (n-1)! $$ (desde $p,q, \frac{n}{p}, \frac{n}{q} < n$ están contenidas en la expansión de $(n-1)!$.) Pero un par de cosas que podrían salir mal:

1. $n$ no tiene al menos dos factores primos. A continuación, cualquiera de $n$ es una potencia de un primo, o $n = 1$. Si $n = 1$, en el hecho de $n^2$ sí divide $(n-1)! = 1$. De lo contrario, vamos a $n = p^k$, $k > 0$.

   1a. Si $k = 1$, entonces esto es una excepción (que se lista): $\boxed{n \text{ is prime}}$.

   1b. Si $p^{k-1} > 2k$, entonces podemos escribir $$ n^2 = p^{2k} \; \mid \; p^{p^{k-1} - 1} \; \mid \; (p)(2p)(3p)\cdots ((p^{k-1} - 1)p) \; \mid \; (n-1)! $$ 1c. (1a) o (1b) se aplica a menos que $(p,k) = (2,2), (2,3), (2,4), (3,2)$. Estos corresponden a $n = 4, 8, 16, 9$, de los cuales, $\boxed{n = 4, 8, 9}$ son auténticas excepciones.

2. $\frac{n}{p}$ igual $p$ (o $\frac{n}{q}$ igual $q$). En este caso, $n = p^2$, que no es divisible por $q$ (para este caso nunca sucede).

3. $\frac{n}{p}$ igual $q$ (o $\frac{n}{q}$ igual $p$). En este caso, $n = pq$. Si $p,q > 2$, luego de escribir $$ n^2 = p^2c^2 \; \mid \; p \cdot p \cdot 2 \cdot 2t \; \mid \; (n-1)! $$ debido a $p,q, 2p, 2q < pq = n$. De lo contrario, tenemos la excepción de $\boxed{n \text{ is 2 times a prime}}$. (Esta excepción también abarca $n = 4$ a partir del caso 1.)

Así que: además de la $n = 8,9$, dos condiciones son correctas (y usted no tiene la restricción $2 \le n \le 100$).