Separación de los Espacios de Banach

Question

Una tarea problema de Folland el Capítulo 5, el problema de 5.25.

Si $\mathcal{X}$ es un espacio de Banach y $\mathcal{X}^{\star}$ es separable, entonces $\mathcal{X}$ es separable.

He probado el siguiente enfoque: Por cada $\epsilon >0$ quería mostrar la existencia de un lineal mapa de $x_{1},\ldots,x_{n}$ tal que para cualquier $x\in\mathcal{X}$ $\| x-L(x_{1},\ldots,x_{n})\|\leq \epsilon$.

Answer 1

Uso el de Hahn-Banach Teorema:

Tomando $f_n$ $x_n$ como en su pista.

Deje $Y$ ser el conjunto de todas las combinaciones lineales de las $x_i$ con coeficientes racionales.

Supongamos $Y$ no eran densos en $X$. A continuación el cierre de $Y$ es un buen subespacio de $X$, y por lo tanto, hay un $f\in X^*$ de la norma 1 con $f(Y)=\{0\}$. Entonces $$ {1\over 2}\Vert f_n\Vert\le|f_n(x_n)| =|f_n(x_n) - f(x_n)| \le \Vert f_n-f\Vert \Vert x_n\Vert =\Vert f_n-f\Vert $$

Tome $\Vert f_{n_i}-f\Vert\rightarrow 0$. Luego de lo anterior, $\Vert f\Vert=0$, una contradicción.

Usted podría también utilizar Riesz' lema:

Deje $Y$ ser un adecuado subespacio cerrado de la normativa espacio de $X$$0<\theta<1$. A continuación, hay un $x_\theta$ de la norma 1 para que $\Vert x_\theta-y\Vert>\theta$ todos los $y\in Y$.

Si $X$ no seperable, usted podría utilizar Hahn de Banach para construir una cantidad no numerable de funcionales $f_\alpha\in X^*$ con $\Vert f_\alpha-f_\beta\Vert\ge \theta$ siempre $\alpha\ne\beta$.

Answer 2

Esta es una prueba indirecta.

Sabemos por el teorema de Alaoglu que $B(H^{*})$ es de débiles estrellas compacto. Si podemos probar $H^{*}$ es débil estrella metrizable, entonces podemos mostrar a $H$ es separable. Si no me equivoco, demostrando $B(H^{*})$ es metrizable es suficiente para mostrar la $H^{*}$ es metrizable. Por Urysohn del metrization teorema, un espacio compacto es metrizable si y sólo si es Hausdauff y segundo contables. Pero creo que si $H$ es un espacio de Banach sobre $\mathbb{C}$ o $\mathbb{R}$, $H^{*}$ debe ser Hausdauff como funcionales puntos separados.

Todavía tenemos que mostrar $H^{*}$ es segundo contable. Dado cualquier conjunto abierto $U$$H^{*}$, ya que el $H^{*}$ es separable hay una contables subconjunto $f_{n}$ denso en $U$. Deje $x_{n}\not \in ker(f_{n})$ tal que $f_{n}(x_{n})=1$, $f_{n}(x_{m})=0$. Esto es posible desde la $\bigcup \ker(f_{n})\not=H$ por Categoría de Baire Teorema (cada uno de ellos es denso en ninguna parte). Ahora el conjunto $$U_{n,m}=\{f:\langle f,x_{n}\rangle<\frac{1}{m}\}$$must somehow cover $U$. So $H$ deben ser separables.