La construcción de una forma plana con área de $\pi^2$

Question

Hay una forma plana que puede ser definida usando sólo números algebraicos y formas básicas (línea, polígono, círculo, parábola, etc.), que tiene un área de $\pi^2$?

(Sé que este no es un bien planteado, pero lo que me interesa es si hay alguna "simple" construcción geométrica que tiene un área de $\pi^2$. Usted puede repetir el problema si usted piensa que hay una mejor manera de fraseo).

(También, prefiero que la forma de ser construido en un número finito de pasos, así que no hay límites...)

Answer 1

Envolviendo un hilo alrededor de un círculo, es posible marcar un segmento de longitud $\pi$ como la circunferencia de un círculo de unidad de diámetro, a continuación, construir un cuadrado de lado a $\pi$. Por ejemplo:

Del mismo modo, el uso de una espiral de Arquímedes $r = b\theta$, podemos marcar un segmento de longitud $2\pi b$ (radial separación de las sucesivas vueltas), y, a continuación, construir un cuadrado de lado a $\pi$ (tomando $b = \frac{1}{2}$, por ejemplo).

A lo largo de diferentes líneas, la región de $a_{1} + b\theta \leq r \leq a_{2} + b\theta$ $0 \leq \theta \leq 2\pi$ (delimitada por espirales de Arquímedes y los segmentos cuyos extremos son las intersecciones de las espirales con el positivo de la $x$-eje) tiene área \begin{align*} \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} \bigl[(a_{2} + b\theta)^{2} - (a_{1} + b\theta)^{2}\bigr]\, d\theta &= \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} (a_{2} - a_{1})(a_{2} + a_{1} + 2b\theta)\, d\theta \\ &= (a_{2} - a_{1}) \bigl[\pi(a_{2} + a_{1}) + 2b\pi^{2}\bigr]. \end{align*}

Tomando $a_{1} = 0$, $a_{2} = 1$, y $b = \frac{1}{2}$, por ejemplo, da una región de área $\pi + \pi^{2}$. El exceso puede ser que desgasta por la eliminación de los discos, decir, nueve discos de radio $\frac{1}{3}$ centrada en las intersecciones de la espiral de Arquímedes $r = \frac{1}{2}(1 + \theta)$ con los rayos de decisiones (edificable!) ángulos $\frac{\pi}{10}(2i+1)$$1 \leq i \leq 9$:

Answer 2

No. Si hubiera una construcción, a continuación, $\pi^2$ y, por tanto, $\pi$ sería algebraicas. pero no lo es.

https://en.wikipedia.org/wiki/Transcendental_number