¿La suma de dos procesos de ruido blanco es necesariamente un ruido blanco?

Question

Dejemos que $a_t$ y $b_t$ sean procesos de ruido blanco. ¿Podemos decir $c_t=a_t+b_t$ ¿es necesariamente un proceso de ruido blanco?

Answer 1

No, se necesita más (al menos según la definición de ruido blanco de Hayashi). Por ejemplo, la suma de dos independiente Los procesos de ruido blanco son ruido blanco.

¿Por qué es $a_t$ y $b_t$ ruido blanco insuficiente para $a_t+b_t$ para ser ruido blanco?

Siguiendo a Hayashi Econometría , a proceso estacionario de covarianza $\{z_t\}$ se define como ruido blanco si $\mathrm{E}[z_t] = 0$ y $\mathrm{Cov}\left(z_t, z_{t-j} \right) = 0$ para $j \neq 0$ .

Dejemos que $\{a_t\}$ y $\{b_t\}$ sean procesos de ruido blanco. Definir $c_t = a_t + b_t$ . Trivialmente tenemos $\mathrm{E}[c_t] = 0$ . Comprobación de la condición de covarianza:

\begin{align*} \mathrm{Cov} \left( c_t, c_{t-j} \right) &= \mathrm{Cov} \left( a_t, a_{t-j}\right) + \mathrm{Cov} \left( a_t, b_{t-j}\right) + \mathrm{Cov} \left( b_t, a_{t-j}\right) + \mathrm{Cov} \left( b_t, b_{t-j}\right) \end{align*} Aplicando eso $\{a_t\}$ y $\{b_t\}$ son ruido blanco: \begin{align*} \mathrm{Cov} \left( c_t, c_{t-j} \right) &= \mathrm{Cov} \left( a_t, b_{t-j}\right) + \mathrm{Cov} \left( b_t, a_{t-j}\right) \end{align*}

Así que si $\{c_t\}$ es ruido blanco depende de si $\mathrm{Cov} \left( a_t, b_{t-j}\right) + \mathrm{Cov} \left( b_t, a_{t-j}\right) = 0$ para todos $j\neq 0$ .

Ejemplo en el que la suma de dos procesos de ruido blanco no es ruido blanco:

Dejemos que $\{a_t\}$ sea ruido blanco. Sea $b_t = a_{t-1}$ . Obsérvese que el proceso $\{b_t\}$ también es ruido blanco. Dejemos que $c_t = a_t + b_t$ Por lo tanto $c_t = a_t + a_{t-1}$ y observar ese proceso $\{c_t\}$ no es ruido blanco.

Answer 2

Incluso más simple que la respuesta de @MatthewGunn,

Considere $b_t = -a_t$ . Obviamente $c_t \equiv 0$ no es ruido blanco sería difícil llamarlo cualquier tipo de ruido.

El punto más amplio es que si no sabemos nada sobre la distribución conjunta de $a_t$ y $b_t$ no podremos decir lo que ocurre cuando intentamos examinar objetos que dependen de ambos. La estructura de covarianza es esencial para este fin.

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Adenda:

Por supuesto, este es exactamente el propósito de los auriculares con cancelación de ruido. -- invertir la frecuencia de los ruidos externos y anularlos -- así que, volviendo a la definición física de ruido blanco, esta secuencia es silencio literal . No hay ningún ruido.

Answer 3

En electrónica, el ruido blanco se define por tener un espectro de frecuencia plano ("blanco") y ser aleatorio ("ruido"). El ruido puede contrastarse con la "interferencia", una o más señales no deseadas que se recogen de otro lugar y se añaden a la señal de interés, y la "distorsión", señales no deseadas que se generan a partir de procesos no lineales que actúan sobre la propia señal de interés.

Aunque es posible que dos señales diferentes tengan partes correlacionadas y, por lo tanto, se cancelen de forma diferente en distintas frecuencias o en distintos momentos, por ejemplo, que se cancelen completamente en una determinada banda de frecuencias o durante un determinado intervalo de tiempo, pero que luego no se cancelen, o incluso se sumen de forma constructiva en otra banda de frecuencias o durante un determinado intervalo de tiempo, la correlación entre las dos señales presupone una correlación, lo que queda excluido por el aspecto presumiblemente aleatorio del "ruido", que es por lo que se preguntó.

Si, efectivamente, las señales son "ruido" y, por tanto, independientes y aleatorias, entonces no deberían/deberían existir tales correlaciones, por lo que al sumarlas también tendrán un espectro de frecuencias plano y, por tanto, también serán blancas.

Además, trivialmente, si los ruidos están exactamente anticorrelacionados, entonces podrían cancelarse para dar una salida nula en todo momento, que también tiene un espectro de frecuencias plano, una potencia nula en todas las frecuencias, lo que podría entrar en una especie de definición degenerada de ruido blanco, excepto que no es aleatorio y se puede predecir perfectamente.

El ruido en la electrónica puede provenir de varios lugares. Por ejemplo, el ruido de disparo, que surge de la llegada aleatoria de electrones en una fotocorriente (procedente de los tiempos de llegada aleatorios de los fotones), y el ruido de Johnson, procedente del movimiento browniano de los electrones en un elemento resistivo más caliente que el cero absoluto, producen ambos ruido blanco, aunque, siempre con un ancho de banda finito en ambos extremos del espectro en cualquier sistema real medido a lo largo de un tiempo finito.

Answer 4

Si ambos ruidos blancos viajan en la misma dirección y si su frecuencia está en fase coincidente, entonces sólo se suman. Pero, una cosa que no estoy seguro es después de la adición seguirá siendo como el ruido blanco o se convertirá en algún otro tipo de sonido que tiene una frecuencia diferente.