¿Cómo definir además a través de la multiplicación?

Question

Uno podría definir la multiplicación de $\bullet$ en $\mathbb Z$ de la siguiente manera:

$\bullet: \mathbb Z\times \mathbb N\ni (a,b) \mapsto un+\cdots+\in \mathbb Z$ donde podemos agregar $b$ veces.

Pero supongamos que estamos en un universo donde sólo podemos multiplicar. Cómo se podría definir el principal, o podría incluso definir?

Tonto enfoque 1: $\log(e^ae^b)=\log(e^{a+b})=a+b$, pero esto supone la existencia de $\log$ y $e$ y es bastante insatisfactoria.

Método 2: Si pudiéramos encontrar una fórmula para $+1$ (donde $a\in \mathbb N$), entonces podríamos sucesivamente extender esta noción a obtener una función de suma de $+:\mathbb N\times\mathbb N\to \mathbb N$. Pero sólo podemos definir $+1$ a través de la multiplicación y el único parámetro dado es $a$, entonces $a+1$ es ser un producto de $a$, por lo tanto $a\mid (a+1)$. Pero esto es imposible por $a>1$. Así que parece que no podemos definir una función de suma utilizando sólo la multiplicación, que es de nuevo insatisfactorio.

¿Alguien tiene una idea de si esto es posible? Lo que si podemos utilizar una (posiblemente infinita) producto de los números reales para definir $+1$?

Answer 1

La siguiente es una respuesta parcial por $\mathbb{N}$, y la noción usual de (de primer orden) definability, que es más restrictiva que la noción está implícita utilizando.

Se trata de una antigua resultado de Mostowski que si $S$ es el conjunto de verdad de oraciones de la teoría de números que no uso, además, de $S$ es recursiva. Este es un análogo de la más famosa de resultados acerca de la decidability de la aritmética de Presburger. No nos fijamos en las oraciones que no utilice la multiplicación.

Si además eran definibles a partir de la multiplicación, entonces el conjunto de cierto número teórico de frases son recursivas. Pero sabemos que este no es el caso.

Así, además, no puede ser definida a partir de la multiplicación en el restringido configuración que hemos descrito.

Comentario: la definición de la multiplicación en los términos de la suma no de primer orden. El problema es con el $\dots$, combinado con "$b$ veces." La sustitución de este con un sistema más formal de la recurrencia no es de primer orden.

Answer 2

Otra más simple de demostrar que la suma no puede ser definido a partir de la multiplicación en "cualquier forma agradable" (que se define a continuación): tenga en cuenta que la estructura $M=(\mathbb{N}, \times)$ tiene un montón de automorfismos. De hecho, su automorphism grupo es de $S_\omega$, el grupo de todas las permutaciones de un countably conjunto infinito: automorfismos de $M$ corresponder exactamente a la reorganización de los números primos.

Por el contrario, la estructura $(\mathbb{N}, +)$ no tiene automorfismos (ejercicio fácil). Así, además, ciertamente, no puede ser definido en $(\mathbb{N}, \times)$ por cualquier tipo de sentencia $\phi$, que no distingue entre isomorfo estructuras (y este es un requisito básico de toda lógica abstracta he visto). En concreto, la primera de orden frases ciertamente tienen esta propiedad, pero lo hacen de segundo orden de las frases y infinitary frases, así que esto no es un problema con la lógica de primer orden: el problema es en realidad que además contiene "más" de la información de la multiplicación.

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Una extensión de este argumento: considere el caso de $\mathbb{R}$ en vez de $\mathbb{N}$. Ahora $(\mathbb{R}, +)$ tiene automorfismos (escala por un factor constante), por lo que la lógica anterior no funciona, pero no hay una solución fácil. Considerar el mapa de $x\mapsto x^3$; este es un automorphism de $(\mathbb{R}, \times)$, pero no respecto de la adición, ya que en general $$ (x+y)^3\=x^3+y^3. $$ Así que, de nuevo, además no es definible a partir de la multiplicación de más de $\mathbb{R}$ por cualquier tipo de isomorfismo-respetar la sentencia. Este argumento es más robusto, y van a trabajar en cada contexto en que puedo pensar de donde la adición y la multiplicación sentido.