¿Qué será diferente si la primavera no es sin masa?

Question

En casi todo el texto, se utiliza la masa de la primavera como ejemplo para ilustrar la idea de la energía potencial elástica. Me pregunto lo que es realmente ser cambiado si tenemos en cuenta la masa de la primavera? Vi a un problema en un texto relativo a la no-masa de la primavera. Se dice que la estirada de primavera (no se sabe la longitud) tiene densidad uniforme y masa $M$, la constante elástica k también es conocido. Si tenemos vertical por lo que se extiende de forma natural debido a la gravedad, ¿cuál es el potencial elástica será. Estoy tratando de entender esto desde el punto de vista físico como sigue, pero no sé si es correcto o no, ya no podrían ser algunos de los conocimientos más allá de los programas de pregrado, necesito solucionar el problema

1) creo que la primavera es, en realidad tiene la gravedad que actúa sobre el centro de masa, por lo que si elegimos el (gravitacional) potencial de referencia cero (en donde el ahorcamiento punto), el potencial gravitacional es $Mgh$ donde $h$ es donde el centro de masa .

2) a partir De 1), podemos decir que la energía potencial elástica es en realidad la misma que la energía potencial gravitacional, por lo $$\frac{k}{2}(\Delta l)^2 = Mgh$$

Así que si podemos averiguar $h$, sabemos que la energía potencial elástica. Pero el problema de cómo encontrar el centro de masa. Traigo esto a algunas personas mayores de estudiantes, algunos de ellos dijo que el centro de masa no va a cambiar, por lo que el centro de masa cuando el resorte no está estirado y cuando es, naturalmente, se extendía será el mismo, es decir, cuando no se estira, el centro de masa es$l_0/2$$h=l_0/2$. Pues, francamente, no veo el punto.

Alguien me muestre las matemáticas para calcular el centro de masa, que es una integral $$ h = l_c = \frac{1}{M}\int_0^L \frac{M}{l_0}xdx $$ allí dijo: $L$ está totalmente de longitud extendida y $l_0$ es la longitud sin estirar, no sé cómo hacer de las matemáticas, pero me tapón que en mathematica y da

$$ h = l_c = \frac{L^2}{2l_0} $$

pero si esto es correcto, necesitamos saber la longitud extendida y longitud original para calcular el centro de masa. No creo que obtener esa información. Así que, ¿realmente necesitamos otro conocimiento, a encontrar la energía potencial elástica para los no-masa de la primavera?

Answer 1

En general, usted puede pensar masiva de los resortes de ser una secuencia de resortes sin masa y masas conectadas en serie. Así que usted puede calcular la energía en cada uno de estos pares de masa-resorte y, a continuación, sumar (integrar).

Me iba a llevar,

$$E_p=\int_0^L\frac12 \frac{k}{L} \left(\Delta x (x)\right)^2 dx$$

donde $\Delta x$ es el desplazamiento para cada una de las $x$. Usted puede calcular de forma estática usando la fuerza de un pequeño trozo de la primavera se encuentra en $x$:

$$F(x)=k.\Delta x(x)$$

y $F(x)=m(x) g$ donde $m(x)$ es la masa de la primavera hasta $x$ (imaginar la primavera y para colgar $x$ comienza en la parte superior y vaya hacia abajo). Sostiene que la $m(x)=\mu x$ donde $\mu$ es la densidad lineal $M/L$. Entonces

$$E_p=\int_0^L\frac12 \frac{k}{L} \left(F (x)\right)^2 dx$$

$$E_p=\int_0^L\frac12 \frac{k}{L} \left(\frac{Mg}{kL}x\right)^2 dx$$

$$E_p=\frac12 \frac{kM^2g^2}{L^3k^2} \int_0^L x^2 dx$$

$$E_p=\frac12 \frac{kM^2g^2}{L^3k^2} \frac13 L^3 $$

$$E_p=\frac{M^2g^2}{6k} $$

Answer 2

Consejo: El cambio de posición del centro de masa es la mitad de su extensión. Le da un intento regresar, voy a actualizar la respuesta.