¿Cuáles son los requisitos previos para cursar álgebra abstracta introductoria?

Question

Soy estudiante de matemáticas en mi segundo año de universidad. He tomado y hecho bastante bien en el cálculo I, II, III, así como una clase de álgebra lineal (centrado en la aplicación). No he trabajado mucho con pruebas. En el catálogo de cursos de mi escuela figura el Álgebra Abstracta como uno de los próximos cursos, pero sugiere una clase de recuperación de "introducción a las pruebas matemáticas" para algunos. Mi pregunta es si la comunidad piensa que sería factible seguir adelante con el Álgebra Abstracta.

Nuestra clase de Álgebra Abstracta está al nivel de "Álgebra Abstracta: An Introduction".

Answer 1

Si tienes interés y estás dispuesto a trabajar duro, ¡hazlo!

Me encontré por primera vez con las pruebas en el álgebra lineal, y luego en el álgebra abstracta; es un buen dominio de estudio para aprender a escribir pruebas. Te sugiero que "hojees" el texto de Hungerfords antes de la clase para "previsualizar" y familiarizarte con su estilo de escritura y su forma de redactar las pruebas

Al mismo tiempo que se hace una vista previa del texto del curso, sería conveniente hacerse con el libro:
Cómo demostrarlo: Un enfoque estructurado por Daniel Velleman. Creo que te será útil leer y trabajar con este libro, al menos en parte, antes de tomar la clase. Y en cualquier caso, te servirá como una buena referencia mientras tomas la clase, para ayudarte a entender mejor las pruebas y escribirlas bien.

Cómo demostrarlo... amplía cada uno de los siguientes temas:

*) La lógica sentencial (proposicional) y de predicados; la lógica cuantitativa
*) Teoría de conjuntos
*) Relaciones y funciones
*) Inducción matemática y recursión
*) Conjuntos infinitos
*) Redacción de pruebas

Si hace clic en el enlace del libro, puede obtener una "vista previa" del mismo y ver el índice.

Otros posibles recursos, ambos muy apreciados:

• Cómo resolverlo , autor G. Polya.
• Pensar matemáticamente , autores J. Mason, L. Burton, K. Stacey.

Answer 2

Puede que quieras mirar los libros de Proof en mi publicación aquí: ¿cómo ser bueno en las pruebas?

También puedes leer este maravilloso libro como introducción y trabajar de verdad con él Un libro de álgebra abstracta: Segunda edición (Dover Books on Mathematics), Charles C Pinter (Autor)

Por último, le recomiendo que lea las respuestas aquí: Un libro para el álgebra abstracta

Saludos -A

Answer 3

Puedes hacerte una idea de cómo sería con esta serie de videoconferencias gratuitas impartidas por un gran profesor, Benedict Gross, en Harvard. Empieza con los principios más básicos y luego va construyendo. Es una presentación excepcional:

http://www.extension.harvard.edu/open-learning-initiative/abstract-algebra

Añadido: Has mencionado que estudiaste álgebra lineal. Pero parece que tu curso no fue riguroso. Un curso de álgebra lineal teórica -con teoremas y pruebas- es muy útil para entrar en álgebra y también te dará una buena experiencia matemática. Así que si tu departamento ofrece un curso de este tipo, podrías considerarlo.

Answer 4

Si has visto un poco de teoría de conjuntos (presumiblemente en el cálculo) y has hecho álgebra lineal, entonces deberías estar preparado para un curso de introducción a la teoría de grupos.

La única manera de desarrollar habilidades con la escritura de pruebas es mediante la experiencia. El álgebra abstracta está repleta de suficientes pruebas interesantes para ofrecerte buenos ejemplos para construir la intuición y muchos problemas desafiantes para mantenerte motivado.

Podrías considerar la posibilidad de ver si hay algún curso en el departamento de ciencias de la computación que puedas tomar simultáneamente, ya que es típico que los cursos de nivel introductorio sobre estructuras de datos y algoritmos cubran varias técnicas y estrategias de prueba bastante a fondo. Esto se suele enseñar junto con la lógica proposicional de primer orden y la teoría de conjuntos básica.

Si no hay un curso de este tipo, o si no puede tomar uno por alguna razón, entonces recomiendo encontrar una copia de El arte de la programación informática de Donald Knuth - que ayudará a construir la intuición necesaria para pensar realmente en las pruebas.

Recomiendo investigar un poco en informática porque demostrar la corrección de un algoritmo (y analizar su complejidad) requiere el mismo nivel de rigor y emplea las mismas estrategias que las demostraciones en matemáticas puras - pero cuando se demuestra un algoritmo, se tiene algo concreto con lo que trabajar, mientras que éste no suele ser el caso cuando se demuestra un teorema.

Además, saber cómo demostrar el algoritmo euclidiano y recoger algo de teoría de números de Knuth ciertamente te pondría en ventaja en el álgebra abstracta.

Answer 5

Yo diría que no hay ningún requisito previo.

El álgebra abstracta es, por un lado, una asignatura muy autocontenida. Todo se puede definir de forma abstracta y se pueden demostrar teoremas interesantes sin necesidad de conocer nada más de las matemáticas. Conocer pequeños fragmentos de álgebra clásica, álgebra lineal, teoría de números e incluso cálculo puede ayudarte a ver algunas aplicaciones de lo que aprendes, pero estudiar los conceptos por sí mismos no requiere estas cosas.

Algo muy bueno del álgebra es que se puede estudiar en sí misma, pero también toca casi todo lo demás en matemáticas de una u otra manera. El álgebra lineal es el principal ejemplo, pero los grupos, anillos y campos (los objetos centrales de estudio del álgebra abstracta básica) también son muy comunes en otras áreas. Cuando pases a estudiar otros temas más específicos, verás que estas cosas aparecen una y otra vez, así que será bueno haberlas visto al menos una vez antes.

No sé si el libro que usarías, pero en mi experiencia, el álgebra es un buen lugar para empezar a estudiar y demostrar teoremas. En la teoría de grupos, especialmente en la teoría de grupos finitos, los teoremas básicos son bastante naturales y accesibles. A medida que se profundiza en ellos, el material se vuelve más difícil a un ritmo lento pero constante, y las técnicas y los trucos utilizados en las demostraciones también se vuelven más complicados. Esto es bueno. Ayuda a ampliar tu mente y a aumentar tu sofisticación.

Como siempre, si te quedas atascado, no temas hablar con tu instructor o preguntar aquí. Estoy seguro de que podrán ayudarte. Me gustaría lanzar algunos libros que son buenos para estudiar álgebra mientras estás en ello, en orden de mi preferencia por ellos cuando estaba en tu etapa.

1) Galian - Álgebra abstracta contemporánea. Amigable. Conciso, incluyendo sólo lo que necesitas saber para un primer curso. Básicamente todo lo que podrías querer en un primer libro. Al final tiene un montón de temas interesantes que probablemente no verás en un curso de primer año y que están muy bien para tocar, ya que no son más avanzados, sólo un poco más de nicho.

2) Aluffi - Capítulo 0. Tiene un punto de vista completamente heterodoxo sobre el álgebra. Trabaja desde la perspectiva categórica. Si no ha visto nada relacionado con las categorías antes, esto es probablemente más difícil. Sin embargo, el libro es ciertamente una cálida introducción al álgebra y no asume que el lector sepa nada de álgebra.

3) Dummit & Foote - Álgebra Abstracta. Lo utilicé para estudiar la teoría de grupos por mi cuenta, y contiene muchas pequeñas joyas del álgebra. Aunque no asume que el lector sepa álgebra, es un libro enorme, y puede ser un poco intimidante. El estilo es a veces un poco más escueto. Sin embargo, la persistencia puede ser muy gratificante. Este libro inspiró mi primer "amor" por las matemáticas en la teoría de los anillos (concretamente los anillos de polinomios), y me convenció para hacer un estudio independiente sobre los polinomios de varias variables y las bases de Grobner.