Demostrar que $ \sum a^{b+c+d+e}>1$

Question

$a,b,c,d,e>o$. Muestran que

$$ a^{b+c+d+e}+ b^{c+d+e+a}+c^{ d+e+a+b}+ d^{e+a+b+c}+e^{a+b+c+d}>1$$

Answer 1

Considerar los casos en que $a=b=c=d=e$. En tales casos, la desigualdad (como creo que usted quería escribir) se simplifica a $5x^{4x} > 1$. Para averiguar si esto es cierto, debemos considerar el lado izquierdo como una función de la $x$, y encontrar el vértice de esta función. Para hacer eso, usted necesita tomar la derivada, $f'(x)$, y averiguar donde la derivada es igual a cero (y demostrar que este vértice es un mínimo local mediante la demostración de que $f'(x) < f(x\pm\delta)$ para las pequeñas desviaciones $\delta$$x$), lo que hace de este un problema de cálculo. Sugerencia: para $y=x^x$, trate de tomar el logaritmo natural de ambos lados primero: $\ln(y) = \ln(x^x) = x \ln(x)$. Ahora, ¿cuál es la derivada de un registro?

Simplemente me engañó y lo conecté a una calculadora gráfica, y se encontró que el vértice se produce en torno a $f(.36)=1.15$, por lo que la desigualdad se cumple. Para una respuesta exacta, os dejo el cálculo de la derivada.

Como por Calvin comentario, para los casos en los que no son todos iguales, cualquier $x,y>1$ significa que $x^y>1$, y cualquier $x,y<1$ significará $x,y<x^y<1$. La única manera de elevar la base a una potencia y obtener un número más pequeño que sea, es si $x<1<y$ o $y<1<x$, por lo que en esta desigualdad, se necesitan cinco números < 1, pero para que cualquiera de los cuatro suma a > 1, con lo que el resultado de cada término menor que cada base y dándole una mayor probabilidad de éxito.

Se puede mostrar con un par de ejemplos, que el superior de la base, o el menor exponente, el más grande que el resultado, y viceversa. Ya que cada número de la base y el exponente, al menos, una vez cada uno, tratando de minimizar la base o maximizar el exponente de cualquier plazo contraproducente cuando los valores que se están manipulando lugares de intercambio (por ejemplo, $0.1^{10}=.0000000001$, pero $10^{0.1}=1.2589$).

Los casos en que todos los números son iguales, eliminando cualquier diferencia entre los términos, es, por tanto, el ideal, y como he demostrado anteriormente, no hay un único valor que tendría la desigualdad falso.

Answer 2

Oh, pido a mi maestra (tian27546), me dijo esta es la desigualdad:http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=52&t=484816&p=2718780#p2718780