Sé para un hecho que si un grupo $G$ tiene orden $pqr$ $p,q,r$ primos distintos, entonces $G$ es soluble.
Más pruebas que veo de esto están muy feas y requieren una gran cantidad de caso control para mostrar la que mayoría de los casos conducen a contradicciones.
¿Entonces hay una relativamente "buena" prueba de ello, o soy que yo muy optimista está pidiendo tal cosa?
No sé que feo pruebas que usted ha visto, pero la idea básica está destinada a ser del teorema de Sylow. La prueba de que inmediatamente viene a la mente no parece feo de todo para mí: wlog. deje $p$ ser el mayor de los números primos. El número de Sylow $p$-subgrupos es $\equiv 1\pmod p$ y se divide $qr$. Por lo tanto es 1, en el que caso de que se hacen, o es $qr$ (no puede ser $q$ o $r$, debido a que sería inferior a $p$).
En el último caso, obviamente, tienen una muy fuerte restricción: $(p-1)qr$ elementos de orden $p$, que no deja espacio para varias Sylow $q$ o $r$-subgrupos.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
