Cortes de Dedekind para $\pi$ y $e$

Question

Intenté buscar en internet sobre esto pero no consiguieron ninguna respuestas interesantes. Mi pregunta es: ¿Cómo es la construcción de números transcendental como $\pi$ y $e$ explicaron a través de cortes de Dedekind?

Answer 1

Aquí es una simple descripción para $e$. La izquierda conjunto se compone de todos los racionales $r$ tal que $$r\lt 1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+\cdots +\frac{1}{n!}$$ para algunos $n$. Esta descripción está cerca en espíritu a una de las muchas definiciones de $e$.

Uno puede dar una descripción similar para $\pi$, aunque no hay nada como lo natural. Se podría utilizar la siguiente variante de la "Leibniz" de la serie, utilizando para el conjunto de la izquierda todos los racionales $r$ tal que $$r\lt 4-\frac{4}{3}+\frac{4}{5}-\frac{4}{7}+ \cdots +\frac{4}{4n+1}-\frac{4}{4n+3}$$ para algunos $n$. Tenga en cuenta que nos deje con un "$-$" porque queremos asegurarnos de que estamos por debajo de $\pi$.

Answer 2

Basado en lo que dice otra gente. Que $q_n = 1 + 1/1! + 1/2! + ... + 1/n!$. Este es un número racional, por lo tanto el asociado % corte $q_n^* = \{ x \in \mathbb{Q} ~ | ~ x < q_n \}$. El número $e$ es el supremum de todos ellos. Así, podemos decir, $$ e = \bigcup_{n\geq 1} q_n^* $ $

Answer 3

Si uno se siente incómodo utilizar la serie para definir el corte de Dedekind para $e$, en su lugar podemos tomar el conjunto de $Q_e$ de cada Aproximaciones racionales de $e$ y definir el corte como el conjunto de $R_e$ cada racional $q$ como $q < p$ $p \in Q_e$.

La serie ofrece un método para computar a algunos miembros del corte, pero usted no necesita la serie para definir el corte sí mismo. Lo mismo ocurre para cualquier número real o $\pi$.

Answer 4

Invocamos el poder de la abstracción. Si hemos de construir los números reales como Dedekind recortes de los racionales, entonces podemos utilizar este método para mostrar que los métodos de cálculo y análisis real de trabajo correctamente.

A continuación, utilizamos nuestra considerable experiencia en el cálculo de la construcción$e$$\pi$.

Si fuéramos tan inclinado, podríamos tomar la totalidad de la construcción en términos de cálculo, y reescribir cada parte individual en términos de Dedekind cortes. Sin embargo, nadie hace esto: no hay ningún beneficio en la realización de un tedioso ejercicio.