Lo que hace la típica explicación física de la geometría diferencial tan confuso, es que tiende a ser tan coordinar la base de que es difícil de comprender que la mayoría de los objetos que no dependen de un sistema de coordenadas. De matemáticas, estoy más acostumbrado a que se referirá a los vectores, no como contra - y vectores covariantes, pero como vectores de tangentes y diferenciales (o cotangente vectores).
Imaginemos que nuestro colector de la superficie de la Tierra. Tenemos un buen mapa de la misma en un atlas con longitudes a lo largo del eje x y latitudes a lo largo del eje. Vamos a utilizar las coordenadas $x^{\mu}$ donde $\mu\in\{\text{long},\text{lat}\}$, pero recuerde que estos sólo sirven para que nos diga donde en el mapa de una posición determinada en la Tierra.
Ahora, digamos que vamos a dar un paseo. Tenemos tiempo de nuestra caminata (en segundos) y en cualquier momento estamos en algún punto de $x(t)$ de la Tierra. Podemos describir estas coordenadas como $x^\mu(t)$, y en cualquier momento podemos dar a nuestros velocidad como $\dot x^\mu=dx^\mu/dt$; recuerde que el punto en la Tierra $x(t)$ existe independiente de la que coordina $x^\mu$.
Si utilizamos grados como la unidad para las latitudes y longitudes, la velocidad en unidades $\text{deg}/\text{sec}$. El vector $\dot x$ es una tangente vector que indica la velocidad y dirección independiente de que las coordenadas que estamos utilizando, y la manera natural a dibujar un vector tangente es como una flecha.
Si me paseo a lo largo de la línea del ecuador, el vector tangente es probable que sea un corto vector en el mapa. Sin embargo, si entro en el este, oeste, cerca de uno de los polos, ya que el mapa se estira hacia fuera (en relación a las distancias reales en la Tierra) podría producir un largo vector. I. e. cuando el mapa se estira, la tangente vectores estirarse junto con él. Así que si se extiende el mapa, la flecha que representa el vector tangente se estira con ella.
Ahora, supongamos que tenemos una función de $F$ que toma un valor en cualquier lugar en la Tierra. Podría ser la altitud a la superficie, la temperatura, etc.: digamos que se mide la temperatura en grados Kelvin. En cualquier punto, la función tiene un gradiente. Si queremos ilustrar $F$ en el mapa, es una manera de colorear el mapa de acuerdo a los valores de $F$, o dibujar los contornos de $F$ en el mapa, es decir, las curvas para que $F$ es constante. Si la estiramos o deformar el mapa, estos contornos todavía será correcta ya que se deforman con el mapa, por lo que no dependen de la coordinatesystem. El diferencial de $dF$ nos dice cómo de rápido se $F$ cambios en cualquier punto y en cualquier dirección y en unidades de $\text{K}/\text{deg}$. Si se extiende el mapa, las líneas de contorno obtener más alejados, por lo que el gradiente de aparecer con menos pendiente en el mapa. En las coordenadas, escribimos esto $dF=(dF/dx^\mu)dx^\mu$ donde $dx^\mu$ es sólo el gradiente de la coordenada. El punto es que la $dF$ es realmente independiente del sistema de coordenadas.
Si combinamos nuestro caminar con la función de $F$, obtenemos $F(x(t))$ como el valor a lo largo de nuestro camino. El cambio en el tiempo se convierte en$(d/dt)F(x(t))$, con lo cual podemos escribir como
$$\frac{d}{dt}F(x(t))=\frac{dF}{dx^\mu}\dot x^\mu=dF\cdot\dot x\tag{1}$$
y es independiente del sistema de coordenadas. El $dF$ $\dot x$ son el diferencial de $F$ y el vector tangente de $x$, ambos de los cuales son independientes de las coordenadas que decidamos usar. Las unidades también están informativo: $\dot x$ unidades $\text{deg}/\text{sec}$, mientras que $dF$ unidades $\text{K}/\text{deg}$.
A partir de (1), vemos que hay una forma natural de llevar el producto de un vector tangente con un diferencial. De hecho, los diferenciales (en cualquier momento) forman la doble espacio vectorial del espacio vectorial de los vectores de tangentes, que es la razón por la que son llamados también cotangente vectores.
Todo esto se hace enteramente sin la necesidad de una métrica.
La métrica sólo entra en juego cuando, por ejemplo, quiere convertir los vectores de tangentes en una medida real de las distancias físicas. Si desea calcular la longitud de un camino, necesita una métrica. Del mismo modo, es necesario cuando se calcula la velocidad en términos absolutos como en la energía cinética $E_{\text{kin}}=\frac{m}{2}g_{\mu\nu}\dot x^\mu\dot x^\nu$. Otro lugar es en el campo de la ecuación de onda que, por ejemplo, $g^{\mu\nu}(d\phi/dx^\mu)(d\phi/dx^\nu)$ puede entrar.
Conexiones, que son objeto matemático que indican cómo paralelo de transporte de vectores a lo largo de una ruta de un punto a otro, puede ser definido sin una métrica. Sin embargo, si hay una métrica, hay una conexión en particular, la de Levi-Civita de conexión, lo que naturalmente corresponde a la métrica (lo cual es natural, ya que se necesita la métrica para especificar lo que se supone por la distancia más corta ruta de acceso), y cuando se especifique la de Levi-Civita de conexión (que en un sistema de coordenadas que se hace con los símbolos de Christoffel) se encontrará con elevación/descenso de los índices.
Mientras que la métrica no inducir una forma natural para identificar la tangente y la cotangente espacios vectoriales, que es la identificación que se aplica al subir o bajar los índices, esta identificación es la métrica dependiente y, por tanto, sólo se requiere cuando se computing algo que depende de la métrica.
Mi recommentation sería no tratar de atribuir significado, al menos no demasiado, para que esta identificación de la tangente y la cotangente espacios vectoriales. En su lugar, se podría pensar en por qué estos introducir la imagen en física de todos y entender esos casos.
