Integrabilidad de las derivadas

Question

¿Hay algún ejemplo (preferiblemente sencillo) de una función $f:(a,b)\to \mathbb{R}$ que es diferenciable en todas partes, tal que $f'$ no es integrable de Riemann?

Lo pregunto por razones pedagógicas. Los resultados del análisis real básico que relacionan una función y su derivada se pueden demostrar generalmente mediante el teorema del valor medio o el teorema fundamental del cálculo. Las demostraciones vía FTC suelen ser más sencillas de plantear y explicar: basta con integrar la hipótesis para obtener la conclusión. Pero esto requiere $f'$ (o algo así) para ser integrable; los libros de texto que adoptan este enfoque suelen estipular que $f'$ es continua. Las pruebas a través de la MVT pueden evitar estas suposiciones innecesarias, pero pueden requerir más creatividad. Así que me gustaría un ejemplo para mostrar que el trabajo extra realmente vale la pena.

Obsérvese que las derivadas de funciones diferenciables en cualquier lugar no pueden tener un comportamiento arbitrario. Por ejemplo, satisfacen la conclusión del teorema del valor intermedio.

Answer 1

Creo que esto responde a la pregunta:

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MR0425042 (54 #13000) Goffman, Casper Una derivada acotada que no es integrable de Riemann. Amer. Math. Monthly 84 (1977), no. 3, 205--206.

En 1881 Volterra construyó una derivada acotada en $[0,1]$ que no es integrable de Riemann. Desde entonces, varios autores han construido otros ejemplos de este tipo. Estos ejemplos suelen ser relativamente complicados y/o implican técnicas no elementales. El presente autor ofrece un ejemplo sencillo de una derivada de este tipo $f$ y sólo utiliza técnicas elementales para demostrar que $f$ tiene las propiedades deseadas.

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El documento está disponible aquí:

http://math.uga.edu/~pete/Goffman77.pdf

Answer 2

Intervalo abierto $(a,b)$ fácil ... hacer $f'$ sin límites, digamos $f(x) = \sqrt{x}$ en $(0,1)$ .

Al exigir la diferenciabilidad incluso en el punto final, el contraejemplo debe ser más elaborado. Pero aún así una función no limitada no es integrable en Riemann, así que tomemos alguna $x^a \sin^b x$ .

Incluso permitiendo integrales de Riemann impropias o integrales de Lebesgue no es suficiente para evitar la hipótesis de que $f'$ es integrable. La integral de Henstock-Kurzweil es necesaria para recuperar $f$ de $f'$ que existe en todas partes en $[a,b]$ en general.

Answer 3

Recuerdo, que había un ejemplo de tal función en el libro Contraejemplos en el análisis . Sólo quería mencionarlo para completarlo. Se puede encontrar en el capítulo 8 (Conjuntos y medidas en el eje real), ejemplo 35 (Una función acotada que posee una primitiva en un intervalo cerrado pero que no es integrable en Riemann).

Answer 4

$f(x) = x \sin\big(\frac 1 x\big)$ en $(0,1)$ debería funcionar. O con $x^2$ sustituyendo a $x$ si quieres diferenciabilidad en el límite.