Ponderado de la convergencia uniforme de series de Taylor de la función exponencial

Question

Es el límite $$ e^{-x}\sum_{n=0}^N \frac{(-1)^n}{n!}x^n\a e^{-2} \quad \text{como } \ N\to\infty \tag1 $$ uniforme en $[0,+\infty)$?

Numéricamente esto parece ser cierto: ver la diferencia de dos lados de (1) por $N=10$ $N=100$ grafican a continuación. Pero la convergencia es muy lenta (logarítmica de error $\approx N^{-1/2}$, como se muestra por Antonio Vargas, en su respuesta). En particular, poniendo a $e^{-0.9x}$ $e^{-1.9x}$ (1) claramente hace que la convergencia no es uniforme.

Una dificultad es que la Taylor resto de la fórmula es efectiva sólo hasta el $x\approx N/e$, y el máximo de la diferencia en $x\approx N$.

La pregunta está inspirada en un intento de encontrar una alternativa a prueba de $\epsilon>0$ no es un polinomio $p$ tal que $|f(x)-e^{-x}p|<\epsilon\forall x\in[0,\infty)$.

Answer 1

Créditos deben ir al paisaje.

Definir %#% $ #%

Tenga en cuenta que por el teorema de Taylor con forma de Lagrange del resto podemos escribir $$r_n(x)=\sum_{k=n+1}^\infty (-1)^k\frac{x^k}{k!}$ $

donde $$r_n(x)=(-1)^{n+1}e^{-x'}\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$ es positiva. Sigue %#% $ #%

Verificación fácil muestra que la última función tiene máximo absoluto en $x'$. Pero $$e^{-x}|r_n(x)|\leq e^{-x}\frac{x^{n+1}}{(n+1)!}$$x=n+1$\quad \Box$

Answer 2

Gracias, este fue un divertido problema.

A partir de la representación integral

$$ \sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!} = \frac{1}{n!} \int_0^\infty (x+t)^n e^{-t} \,dt \tag1 $$

podemos derivar la expresión

$$ e^{-x} \sum_{k=0}^{n} \frac{(-x)^k}{k!} = e^{-2} - \frac{e^{-2} (-x)^{n+1}}{n!} \int_0^1 t^n e^{xt}\,dt. \tag2 $$

Ahora

$$ \int_0^1 t^n e^{xt}\,dt \leq e^x \int_0^1 t^n\,dt = \frac{e^x}{n+1}, \tag3 $$

así que

$$ \begin{align} \left|\frac{e^{-2x} (-x)^{n+1}}{n!} \int_0^1 t^n e^{xt}\,dt\right| &\leq \frac{e^{-x} x^{n+1}}{(n+1)!} \\ &\leq \frac{e^{-n-1} (n+1)^{n+1}}{(n+1)!} \\ &\sim \frac{1}{\sqrt{2\pi n}} \end{align} \tag4 $$

por la fórmula de Stirling.

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Añadido por 40 votos para aquellos interesados en la derivación de (2) de (1): $$ \sum_{k=0}^{n} \frac{(-x)^k}{k!} = \frac{1}{n!} \int_0^x (t-x)^n e^{-t} \,dt + \frac{1}{n!} \int_x^\infty (t-x)^n e^{-t} \,dt \etiqueta{Un} $$ Sustituto $u=t-x$ en la segunda integral de la derecha de (A): $$\frac{1}{n!}\int_x^\infty (t-x)^n e^{-t} \,dt =\frac{1}{n!}\int_0^\infty u^n e^{-u-x} \,dt = e^{-x} \etiqueta{B}$$ Sustituto $u=1-t/x$ en la primera integral de la derecha de (A), tomando nota de que $(t-x)^n=(-x)^n u^n$$dt=(-x)du$: $$\frac{1}{n!} \int_0^x (-x+t)^n e^{-t} \,dt = \frac{(-x)^{n+1}}{n!} \int_0^1 u^n e^{xu-x} \,du = \frac{e^{-x}(-x)^{n+1}}{n!} \int_0^1 u^n e^{xu} \,du \etiqueta{C} $$ La suma de (B) y (C), la identidad (2) de la siguiente manera.

Answer 3

Me gustaría aportar otra solución que es una mezcla de Antonio y de paisaje. Uno puede también escribir %#% $ #%

en virtud del teorema de Taylor con resto integral. Pero, de nuevo %#% $ #%

y Strling hace el trabajo.