La intuición detrás de Descartes ' regla de signos

Question

He leído algunos de los lugares que Descartes' Regla de los Signos era familiar para ambos Descartes y Newton, y que tanto se consideran demasiado "obvio" a mérito de una prueba. Sé cómo probarlo, pero me gustaría saber cómo se intuía que era cierto. Newton al parecer en uno de sus libros, así que él debe haber tenido una buena razón para creer que era verdad, si él nunca se molestó en intentar una prueba.

Sólo para aclarar, me refiero a el teorema de que el número de raíces positivas del polinomio $$p(x)=a_nx^n+⋯+a_1x+a_0$$ es igual o menor que un número par, el número de cambios de signo en p como está escrito en el orden de arriba (descendente potencias de x).

Answer 1

Básicamente, en diferentes valores de $x$ diferentes términos en el polinomio de "dominar." Así que cada signo interruptores, habrá un cambio en la dirección de la curva. (1) esto dará como resultado en el cruce con el eje x y una raíz o (2) no habrá otro cambio, que significa "perder las raíces" siempre ocurren en pares. Entonces las raíces son igual o menos que por algo x2 el número de cambios de signo.

También, he intentado mirar en la página de la wikipedia?

Answer 2

Usted podría estar interesado en artículo de Michael Bensimhoun:

Relato histórico y pruebas ultra simples de la regla de Descartes de los signos

Sólo he tenido un vistazo y parece muy accesible.

Answer 3

La intuición es que cada $x^k$ con un distinto signo de los sumandos anteriores marcas de verificación puede ser mayores que los poderes superiores para pequeños $x$, pero no para grandes $x$. Por supuesto, es imaginable que la "lucha" entre estos dos es más complicada - pero no es. Una prueba rigurosa por supuesto sería preferible.