Prueba de la fórmula propuesta de adición II.8.20 de Hartshorne

Question

En la página 182 Hartshorne sostiene que $\omega_X \otimes \mathcal O_Y = \omega_Y \wedge^r (\mathcal I / \mathcal I^2)$, donde Y es un nonsingular subvariedad de codimension r en el nonsingular variedad X sobre k y $\omega$ es canónica de la gavilla. Luego, escribe: "Puesto que la formación de la más alta potencia exterior desplazamientos con la toma de la doble gavilla, nos encontramos con $\omega_Y \cong \omega_X \otimes \wedge^r \mathcal N_{Y/X} $". Aquí $\mathcal N$ es el normal de la gavilla. Hay dos cosas que me gustaría hacer en este punto:

1) ¿por Qué sólo la más alta potencia exterior conmuta con el doble gavilla?

2) Suponiendo que de todos modos que viajan, después de tomar el doble gavilla, que es exacto en este caso (cf. Es el dualizing functor $\mathcal{Hom}( \cdot, \mathcal{O}_{X})$ exacto?), estaríamos ahora teniendo la más alta potencia exterior de la SES, escrito justo antes de la proposición, es decir,$$0\to \mathcal T_Y \to \mathcal T_X \otimes \mathcal O_Y \to \mathcal N_{Y/X} \to 0$$which should give us now $\ bigwedge \mathcal T_X \otimes \mathcal O_Y \cong \bigwedge \mathcal T_Y \otimes \mathcal N_{Y/X}$. How does one now get the isomorphisms $\bigwedge \mathcal T_X \otimes \mathcal O_Y \cong \omega_Y$ and $\bigwedge \mathcal T_Y \cong \omega_X$?

Edit: ahora me doy cuenta de que tal vez Hartshorne no está mirando el doble SES, pero posiblemente él es el que va desde el isomorfismo $\omega_X \otimes \mathcal O_Y = \omega_Y \otimes \wedge^r (\mathcal I / \mathcal I^2)$ el resultado de la $\omega_Y \cong \omega_X \otimes \wedge^r \mathcal N_{X/Y}$, teniendo el doble de la congruencia en lugar de en la secuencia exacta de sí mismo. ¿Cómo funciona esto?

Finalmente, para terminar la prueba, me gustaría preguntar cómo se obtiene el isomorfismo $\mathcal {I/I^2} \cong \mathcal L^{-1} \otimes \mathcal O_Y.$ En otras palabras, cómo es el factoring por $\mathcal {I^2}$ equivalente a tensoring por $\mathcal O_Y$?

Answer 1

1) equivale a una declaración de álgebra multilineal: si $V$ es un módulo libre $k$ de fila $n$, hay un % de emparejamiento natural $\wedge^n(V) \otimes \wedge^n(V^*) \to k$dada por asignación $v_1 \wedge \dotsc \wedge v_n \otimes \phi_1 \wedge \dotsc \wedge \phi_n$ al determinante de la matriz $(\phi_i(v_j))$. Es perfecto, es decir, induce un isomorfismo natural $\wedge^n(V)^* \cong \wedge^n(V^*)$. Puede comprobarlo directamente a través de bases.

Para el resto de las preguntas, usted debe explaind su notación ($Y,X,I$, etc.).

Answer 2

Para obtener el isomorfismo $\mathcal {I/I^2} \cong \mathcal L^{-1} \otimes \mathcal O_Y$ tenga en cuenta que $\mathcal O_Y = \mathcal O_X/\mathcal I$. Por lo que el resultado sigue el mismo razonamiento como Hartshorne 8.9.1 estructura de módulo $\mathcal O_{\Delta X}$ $\mathcal I$: = núcleo del morfismo diagonal.