Incluso hay densamente conjuntos ordenados con el PUNTO de la propiedad.
Deje $\langle X,\le\rangle$ ser un orden lineal, y supongamos que los hay de distintos $x,y\in X$ tal que $(\leftarrow,x]\cong(\leftarrow,y]$. Sin pérdida de generalidad supongamos que $x<y$, y deje $f:(\leftarrow,y]\to(\leftarrow,x]$ ser un isomorfismo. Claramente
$$h:X\to X:z\mapsto\begin{cases}
f(z),&\text{if }z\le y\\
z,&\text{if }y<z
\end{casos}$$
es un isomorfismo de $X$ dentro de sí mismo. Llamar a un orden lineal rígido si se admite que el no-trivial de isomorfismo en sí mismo; de ello se sigue que cada rígido orden lineal tiene el PUNTO de la propiedad. El siguiente teorema se demuestra en Brian M. Scott, 'Una caracterización de órdenes", Fundamenta Mathematicæ, Vol. $111$ ($1981$), Nº $1$, pp. $71$-$76$, disponible gratuitamente aquí.
Teorema. Deje $\kappa\ge\omega$ ser tal que $2^{<\kappa}=\kappa$. Entonces hay una rígida densa orden lineal de potencia $2^\kappa$.
Un orden lineal, ser rígido, tiene el PUNTO de la propiedad, pero ya que es densa, no es un bien de orden.
De curso $2^{<\omega}=\omega$, por lo que existe una rígida densa orden lineal de potencia $2^\omega$. Con un poco de trabajo para controlar el límite de cardenales, la generalización de la hipótesis continua implica que hay una rígida densa orden lineal de cada innumerables cardinalidad.
Agregado: Un buen ejemplo claro de un dispersos orden lineal que tiene el PUNTO de la propiedad, pero no es un bien de orden no es demasiado duro para construir. Vamos
$$X=\{\langle n,\alpha\rangle:n\in\omega\text{ and }\alpha\in\omega_n\}\;,$$
y definir un orden lineal $\preceq$ $X$ como sigue: $\langle m,\alpha\rangle,\langle n,\beta\rangle\in X$, $\langle m,\alpha\rangle\preceq\langle n,\beta\rangle$ iff bien $m>n$ o$m=n$$\alpha\le\beta$.
Supongamos que $\langle m,\alpha\rangle\prec\langle n,\beta\rangle$. Si $m=n$, es fácil ver que $\big(\leftarrow,\langle m,\alpha\rangle\big]$ no es isomorfo a $\big(\leftarrow,\langle n,\beta\rangle\big]$. Si $m>n$, el intervalo de $\big[\langle m,\alpha\rangle,\langle n,\beta\rangle\big)$ es de orden tipo de $\omega_m+\beta$ donde $\beta<\omega_n<\omega_m$. Supongamos que $\langle k,\gamma\rangle\prec\langle m,\alpha\rangle$, y deje $I=\big[\langle k,\gamma\rangle,\langle m,\alpha\rangle\big)$. Si $k=m$, el tipo de orden de $I$ es de menos de $\omega_m\le\omega_m+\beta$. Si $k>m$, el tipo de orden de $I$ al menos $\omega_{m+1}+\alpha>\omega_m+\beta$. Por lo tanto, el tipo de orden de $I$ no puede ser $\omega_m+\beta$, e $\big(\leftarrow,\langle m,\alpha\rangle\big]$ no es isomorfo a $\big(\leftarrow,\langle n,\beta\rangle\big]$.
Por lo tanto, $\langle X,\preceq\rangle$ tiene el PUNTO de la propiedad. Un boceto de $X$:
$$\cdots\underset{\omega_3}\longrightarrow\underset{\omega_2}\longrightarrow\underset{\omega_1}\longrightarrow\underset{\omega}\longrightarrow$$
