¿una matriz como esta existen?

Question

Pregunta:

Existe un % de la matriz $A \in M_{3 \times 3}(F)$s.t. $A ^ 4 =\begin{bmatrix} 0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix} $

Lo que yo pensaba:

Creo que no es así. Cómo realizar una prueba de tal cosa (prefiero consejos al principio). THX

Answer 1

Sugerencias:

Supongamos que existe tal matriz, entonces

(1) $\;A^8=0\;$ ;

(2) $\,A\,$ es nilpotente y orden $\,3\times 3\implies A^3=0\;$, contradicción.

Answer 2

Es fácil de calcular, $(A^4)^2=O$ (el nulo de la matriz).

Creo que ya sabes el resultado siguiente, pero voy a probar de todos modos, ya que es útil en muchas situaciones.

Si $\lambda$ es un autovalor de a $A$ (en los números complejos), a continuación, $\lambda^n$ es un autovalor de a $A^n$: just do it por inducción. La base, paso a $n=1$ es obvio, entonces, si $v$ es un autovector de a$\lambda$,, por $n>1$,

$$ Un^nv=A(A^{n-1}v)=A(\lambda^{n-1}v)=\lambda^{n-1}Av=\lambda^nv. $$

En nuestro caso, esto significa que el único autovalor de a$A$$0$. Así que el polinomio característico de a $A$ tiene una forma muy simple. Aplicar Hamilton-Cayley, a la conclusión de que la $A^3=\dots$ y obtener una contradicción.