Tratando de analizar una definición en el libro de Silverman sobre la CE

Question

Dejemos que $C_1\subset \mathbb{P}^{N_1}$ y $C_2\subset \mathbb{P}^{N_2}$ sean dos curvas. Entonces un mapa $\phi:C_1\to C_2$ puede definirse como

$$\phi=[f_0,\ldots,f_{N_2}],$$

donde cada $f_i$ es un polinomio homogéneo. Dicho mapa induce un mapa $\phi^*:K(C_2)\to K(C_1)$ dado por $g\mapsto g\circ \phi$ . Lo que me confunde aquí es que los anillos $K(C_i)$ son definidos por Silverman como los anillos $K(C_i\cap \mathbb{A}^{N_i})$ Así, por ejemplo $K(C_2)$ es de la forma $K[X_1,\ldots,X_{N_2}]/I$ y tengo problemas para ver qué $g\circ \phi$ debe ser para algunos $g\in K[X_1,\ldots,X_{N_2}]/I$ ya que $\phi$ tiene una especie de "un componente de más".

¿La idea aquí es que debemos escribir esencialmente $\phi$ en la forma

$$\phi = [f_0/f_i,\ldots,1,\ldots,f_{N_2}/f_i]$$

donde $i$ corresponde a nuestra incrustación elegida $\mathbb{A}^{N_2}\hookrightarrow U_i=\{X_i\neq 0\}\subset \mathbb{P}^{N_2}$ ? Ahora bien, teniendo en cuenta algunos $g(X_1,\ldots,X_{N_2})\in K(C_2)$ obtenemos

$$\phi^*g=g\circ \phi =?$$

¿Cómo se supone que se representa concretamente este mapa? Sé que Hartshorne utiliza la representación en la que $K(C_2)$ es sólo cociente de polinomios homogéneos del mismo grado, así que la composición es bastante obvia. Estoy tratando de entender cómo trabajar con la definición de Silverman.

EDIT: Creo que la idea aquí es pensar en $K(C_2)$ como el anillo generado por $X_0/X_i,\ldots,X_{N_2}/X_i$ y $K(C_1)$ como el anillo generado por $Y_0/Y_j,\ldots,Y_{N_1}/Y_j$ por lo que el polinomio $g$ es en realidad $g(X_0/X_i,\ldots,X_{N_2}/X_i)$ . Entonces el mapa vendría dado por

$$\phi^*g = g\left(\frac{f_0(Y_0/Y_j,\ldots,Y_{N_1}/Y_j)}{f_i(Y_0/Y_j,\ldots,Y_{N_1}/Y_j)},\ldots,\frac{f_{N_1}(Y_0/Y_j,\ldots,Y_{N_1}/Y_j)}{f_i(Y_0/Y_j,\ldots,Y_{N_1}/Y_j)}\right).$$

¿Puede alguien confirmarlo? Esto parece coincidir con la definición de Hartshorne, aunque comprobarlo sería todo un lío...

Answer 1

Aunque el libro de Silverman es una rica fuente de información sobre las curvas elípticas, sus fundamentos sobre las variedades algebraicas en el capítulo 1 no son óptimos en mi opinión.
Introduce el material básico de la geometría algebraica y aritmética en 16 páginas, incluyendo variedades afines y proyectivas sobre campos no cerrados algebraicamente y acciones de Galois, en un lenguaje anticuado y difícil de entender si no se conoce el material de antemano.

Volviendo a su pregunta, el punto principal que hay que entender es que $K(C_i)$ es un campo y no corresponde a funciones genuinas definidas en $C_i$ ( que son todos constantes: $K[C_i]=K$ ) sino a funciones racionales , que tienen polos en $C_i$ .
Así que, no, $K(C_i)$ no es el anillo generado por el $X_0/X_i,...$ .
Silverman define un morfismo $C_1\to C_2$ restringiendo los mapas racionales $\mathbb P^n\to \mathbb P^n$ y exigir que estos mapas se definan en cada punto de $C_1$ . [Es desconcertante que al principio del §3 incruste ambas variedades en el mismo $\mathbb P^n$ ]
Hay que tener mucho cuidado con esa definición:
Por ejemplo, si $C_1$ es la cónica definida por $xz=y^2$ en $\mathbb P^2$ el mapa racional $f:C_1\to \mathbb P^1: (x:y:z)\mapsto (x:y)=(y:z) \;$ es regular en todas partes pero es imposible escribirlo $f(x,y,z)=(f_1(x,y,z):f_2(x,y,z))$ con $f_1,f_2$ polinomios homogéneos del mismo grado que desaparecen en cualquier punto de $C_1$ . Debes utilizar dos descripciones, como hice yo: $(x:y)$ y $(y:z)$ .
Esto dice que la afirmación de la primera frase de tu pregunta requiere una interpretación cuidadosa si quieres que sea cierta.

Para el material básico sobre las variedades, recomiendo el libro de Fulton Curvas algebraicas que se puede descargar de forma gratuita y legal en aquí .