¿Cómo se resuelven ecuaciones de cualquier grado?

Question

Estoy atascado resolviendo este problema de matemáticas financieras, en esta ecuación: $$\frac{(1+x)^{8}-1}{x}=11$$

Estoy atascado en esta ecuación de octavo grado: $$x^{8}+8x^{7}+28x^{6}+56x^{5}+70x^{4}+56x^{3}+28x^{2}+9x-11=0$$

Pero no puedo continuar más allá de esto. Esto rápidamente me llevó a encontrar una forma general de resolver ecuaciones de cualquier grado, pero no pude encontrar nada serio en internet.

¿Conoces algún método simple para resolver ecuaciones de cualquier grado?

Answer 1

En matemáticas financieras, usted está buscando en un problema de interés compuesto tasas ( $\mathbf{n}$ compoundment períodos), donde $100x$ es el porcentaje de la tasa de interés o rendimiento y el $\mathbf{x}$ relativo de la tasa de acumulación de cada período. Al $n$ es el número de compoundment períodos por año, $\mathbf{nx}$ es la tasa de interés anual nominal y $\mathbf{f(x)}$ es una radio sin unidades cantidad comparar el crecimiento en $\mathbf{n}$ periodos con el crecimiento en un solo periodo, y es aplicable, por ejemplo, en una hipoteca de tasa fija al $n=12$. En este contexto, $\mathbf{x \cdot f(x)}$ es la tasa anual equivalente, también conocido como tasa de porcentaje anual (APR), anual tasa equivalente (TAE), y otros de diversas combinaciones de $$ \text{anual/-} \quad \text{eficaz/equivalente/-} \quad \text{interés/porcentaje/-} \quad \text{precio/rendimiento} $$ (es decir, alrededor de 42 diferentes lenguajes si se requiere por lo menos una de las palabras 'anual', 'efectivo' o 'equivalente' -- para tener claro de qué estamos hablando --- pero permitir que su orden para ser intercambiados si el uso de dos).

Generalmente, el problema está dado no tiene el $x$ en el denominador, haciendo que el problema fácilmente solucionable con logaritmos y una relación de futuro y de los valores actuales. La mayoría de las calculadoras financieras tienen una manera de resolver este directamente. Hay sin duda una buena web de recursos. Una vez que podía programa esta en Javascript para su uso sin conexión; alguien que probablemente ya tiene. Sin estos recursos, o si la programación del mismo, aquí está lo que usted necesita (y no deben) conocer acerca de $f(x)$.

Primero algunas de las muchas alternativas algebraicas formas (para $x\in\mathbb{R}$ $n\in\mathbb{Z}$ positivos): $$ \eqalign{ f(x) &=\frac{(1+x)^n-1}{x} =\sum_{k=1}^n \href{http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_coefficient}{\binom{n}{k}} x^{k-1} } $$ y factorizations (quizás también de interés para las matemáticas majors): $$ \eqalign{ f(x) &=\frac{(1+x)^n-1}{(1+x)-1} =\prod_{k=1}^{n-1} \left(x+1- \href{http://en.wikipedia.org/wiki/Root_of_unity}{e^{\frac{2\pi ik}{n}}} \right) =\prod_{1<\href{http://en.wikipedia.org/wiki/Divisibility}{d|n}} \href{http://en.wikipedia.org/wiki/Cyclotomic_polynomial}{\Phi_d} \left(x+1\right) \cr &=\left(x+2\right)^{ \left\lfloor\frac{ n }2\right\rfloor -\left\lfloor\frac{n-1}2\right\rfloor} \prod_{k=1}^{\href{http://en.wikipedia.org/wiki/Floor_function}{ \left\lfloor\frac{n-1}2\right\rfloor}} \left(x^2+\left(2\sin\tfrac{k\pi}{n}\right)^2(x+1)\right) \cr } $$ La primera línea le da la misma forma que dio como punto de partida para este problema, es decir, el crecimiento relativo de $n$ de los períodos de capitalización en comparación con el crecimiento de un período. La segunda fórmula se obtiene una expresión para $f(x)$ como monic polinomio de grado $n-1$, con los multiplicadores de las diversas potencias de $x$ conocido como los coeficientes binomiales.

La segunda línea da una alternativa para las representaciones, que son bastante significativos en el plano complejo y en la escuela primaria de la teoría de números. Estas ecuaciones decir que las raíces del polinomio $f(x)$ mentira en un círculo unitario con centro en el $-1$ y están igualmente espaciados de forma regular $n$-gon, con la excepción de la quita de raíz en $x=0$ en el denominador de la LHS. Cada raíz $e^{\frac{2\pi ik}{n}}-1$ hace un ángulo de $\frac{2\pi ik}{n}$ con el real positiva del eje que se extiende radialmente desde $-1$. La fórmula de la RHS dice que estas raíces pueden ser agrupados por el denominador de $\frac{k}{n}$ en términos mínimos.

La tercera línea se realiza otra agrupación, en cuadrática factores correspondientes a los pares de complejo conjugado raíces, excepto por un factor linear $x+2$ de la raíz a las $-2$ en el caso de $n$ es incluso; este último opcional de bits se realiza con la expresión $\left\lfloor\frac{ n }2\right\rfloor -\left\lfloor\frac{n-1}2\right\rfloor =\href{http://en.wikipedia.org/wiki/Floor_function#Mod_operator}{(n-1)- 2\left\lfloor\frac{n-1}2\right\rfloor}$, que le da el resto de $n-1$ modulo $2$, es decir, se $0$ o $1$ dependiendo de si $n$ es par o impar. Todos los coeficientes aquí están otra vez real, y todos los factores son irreducibles sobre la realidad de los campos. Una consecuencia interesante de esta, mirando a $f(0)$, es que $$ \prod_{k=1}^{\left\lfloor\frac{n-1}2\right\rfloor} \sin^2\tfrac{k\pi}{n} =\frac{n}{2^{n-1}}. $$

Next, $f$ is increasing for $x>0$ and $n>1$, como puede verse a partir de su derivada: $$ \eqalign{ f\,'(x) &=\frac{(x+1)^{n-1}\big((n-1)x-1\big)+1}{x^2} =\sum_{k=2}^n \href{http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_coefficient}{\binom{n}{k}} (k-1)x^{k-2} } $$

Extra notes:

• $f(x)<\frac{e^{nx}-1}{x}$ for $x>-1$. Both sides approach $n$ as $x \rightarrow 0$. The inequality actually holds for all $x>-1$ and is strict for $x\ne0$. This follows from observing that $\ln(1+x)$ is increasing and convex with tangent line $y=x$ en el origen.
• La definición de $f(0)=n$ (o tomar el binomio suma de la energía como nuestra definición) harían $f$ continua en $0$, extendiendo el dominio de a $(-1,\infty)$, ya que el $f(x)$ enfoques de la derivada de la función de potencia con potencia $n$$x \rightarrow 0$.
• Para $n=1$, $f(x)$ también es $1$.
• $\frac{x}{n}f(\frac{x}{n}) \rightarrow e^x-1$ $n \rightarrow \infty$.
• Con $f(0)=0$, el derivado $f\,'(0)=\frac{n(n-1)}{2}$ existe y es continua.
• $f\,'(x)=1$ $n=2$.
• La solución de $y=f(x)$ $x$ $y$ tendrá una solución para $y>n$ ($y\ge n$ si permitimos $x=0$), y no hay soluciones para $y<n$. Hay una serie de métodos para rootfinding, y algunos especializados para polinomios. El método de Newton, el más simple interseccion método, una combinación de interseccion y la secante que resulta en una versión simplificada de Brent del método (como @JM señalado), o una matriz de método como @NickAlger menciona podría ser utilizado para encontrar las $x$. Para Newton-s método, utilice la función de destino $F(x)=f(x)-y$, y un valor de inicio, tales como $$x_0=\frac3{2n}\left(\sqrt{1+\frac83\left(\frac{y}{n}-1\right)}-1\right)$$ iterativa encontrar la raíz de $F$ varias veces la configuración de $x_{n+1}=x_n+\Delta x_n$ $$ -\Delta x_n=\frac{F(x)}{F\,'(x)}=\frac{f(x)-y}{f\,'(x)}= \frac{x\left[(1+x)^n-(1+xy)\right]}{1-(1+x)^{n-1}\left[1-(n-1)x\right]} $$ (donde he omitido los $n$ subíndice después de cada una de las $x$ y encapsulado el signo negativo de $\Delta x_n$ en la LHS, por razones de brevedad). Esto puede parecer más complicado de lo que interseccion, pero la convergencia es mucho más rápida, por lo menos iteraciones son necesarias para obtener una respuesta precisa. (El valor de $x_0$ arriba viene de usar el límite superior $\frac{e^{nx}-1}{x}$ como una estimación de $f(x)$, ampliando $e^{nx}$ en una serie de Taylor, la simplificación y el uso de la ecuación de segundo grado en el menor resto de los términos.)

Finalmente, en el problema, $n=8$, lo $f(x)=y=11>8$ tiene solución $x \approx 0.08928634$ o $8.93$%.

Aquí es un ejemplo de la solución usando el método de Newton y la salvia (en línea), lo cual es correcto a una decena de lugares después de la tercera iteración (y a cerca de un centenar de después de la séptima!):

n = 8
y = 11
F,f,x = var('F,f,x')
f = ((1+x)^n - 1) / x
F = x - x * ((1+x)^n - (1+x*y)) / (1 - (1+x)^(n-1) * (1-(n-1)*x))
x = 3/2/n * (sqrt(1 + 8/3*(y/n - 1)) - 1) # x_0
x = x.n(digits=100)
for i in range(10):
    e = (f(x) - y).n(digits=100) # error
    print i, x.n(), e.n()
    x = (F(x)).n(digits=100) # next estimate
# i x e:
0 0.0776650429449553 -0.452683820096624
1 0.0895542025788610 0.0106779696847534
2 0.0892864798024252 5.56813083089398e-6
3 0.0892863400500602 1.51628362736157e-12
4 0.0892863400500221 1.12440509060997e-25
5 0.0892863400500221 6.18311776700343e-52
6 0.0892863400500221 -1.71448108692341e-99
7 0.0892863400500221 0.000000000000000
8 0.0892863400500221 -2.28597478256455e-100
9 0.0892863400500221 9.14389913025820e-100

Answer 2

Tal como se ha señalado anteriormente, desde la teoría de Galois en general no hay una solución algebraica para polinomios de grado 5 o superior.

Pero ¿qué hay de los solucionadores numéricos? Considera el polinomio $$p(x)=a+bx+cx^2+dx^3+x^4$$ y su matriz compañera, $$A(p)=\left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 & -a \\ 1 & 0 & 0 & -b \\ 0 & 1 & 0 & -c \\ 0 & 0 & 1 & -d \end{matrix}\right]$$

Si lo miras lo suficiente, esperamos que puedas convencerte a ti mismo de que los valores propios de la matriz compañera son exactamente los ceros del polinomio original. (pista, ¿cuál es $\det(A-xI)$?)

Por lo tanto, encontrar los ceros de un polinomio es equivalente a resolver un problema de valores propios, lo cual está bien estudiado numéricamente.

Si deseas encontrar una sola de las raíces, considera usar alguna forma de iteración inversa / iteración del cociente de Rayleigh. Si deseas encontrar todas las raíces, considera usar alguna variante del algoritmo QR (no confundir con la descomposición QR, que se utiliza dentro del algoritmo QR).

Answer 3

En primer lugar, permíteme decir que el polinomio que diste no coincide con tu problema original. Por lo tanto, lo resolveré basándome en tu problema original y no en el polinomio que diste. Quizás lo hayas escrito incorrectamente.

En segundo lugar, dado que se trata de matemáticas financieras, probablemente existan suposiciones que van más allá de las matemáticas puras. El punto es que no necesitas conocer métodos generales para resolver cualquier ecuación polinómica. Necesitas métodos para situaciones muy específicas.

$x$ aquí representa una tasa de interés. Y, a menudo se asume que las tasas de interés son positivas. Esto simplifica considerablemente la solución. Pero, incluso sin esa suposición, puedo decir al mirar tu ecuación cuál era tu problema original. Tu problema original era que 1 dólar se deposita en una cuenta al final de cada año durante 8 años. La cuenta se acumula con una tasa de interés $x$, o $100x\%$, y el valor acumulado en el tiempo 8 es 11. Dado que terminas con más dinero del que pusiste, es definitivamente razonable asumir que tu tasa de interés es positiva. De hecho, dado que todos los pagos realizados por ti se hicieron antes del pago en el tiempo 8 por parte del banco de 11, está garantizado que solo habrá una solución real, y es claramente positiva según el contexto.

Así que, ahora tu tarea es simplemente encontrar la única solución. Utilizamos el Teorema del Valor Intermedio. Dice, si una función es continua en algún intervalo, y si la función es negativa en un punto y positiva en otro punto, entonces debe ser 0 en algún punto intermedio. Así que considera

$$f(x) = \frac{(1 + x)^8 - 1}{x} - 11.$$

No es continua en todas partes, debido a la división por 0 cuando $x = 0$, pero es continua para $x > 0$ y, por lo tanto, el Teorema del Valor Intermedio se aplica si solo estamos buscando una solución a $f(x) = 0$ para $x$ positivo.

Sustituye un par de números pequeños, como 0.05 y 0.2. $f(0.05) = -1.45089$ y $f(0.2) = 5.49908$. Ahora, sabemos que la solución está entre 0.05 y 0.2 por el Teorema del Valor Intermedio. Elije un número intermedio, como 0.1. $f(0.1) = 0.435888$. Dado que este es positivo, nuestra raíz está entre 0.05 y 0.1. Nos acercamos. Intenta con 0.075. $f(0.075) < 0$. Esto nos dice que nuestra solución está entre el 7.5% y el 10%. Prueba con 0.09. $f(0.09) > 0$, por lo que nuestra solución está entre 0.075 y 0.09. Intenta con 0.08. Obtienes $f(0.08) = -0.363372$. Continúa de esta manera y eventualmente estrecharás la respuesta a tantos lugares decimales como desees. Por supuesto, es lento. Este método es básicamente el método de bisección, excepto que no siempre elegí que mi próximo número esté justo en el medio de los límites anteriores. También podrías probar el método de Newton. Eventualmente obtendrás $x = 0.0892863...$

Answer 4

No conozco un método universal para resolver cualquier ecuación. Si tienes la suerte de poder elegir cualquier método para resolver una ecuación, y no estás particularmente interesado en matemáticas avanzadas, podrías intentar graficar la ecuación ya sea a mano o usando software gratuito en la red para darte al menos una solución inicial.

Por ejemplo, tu ecuación

$\frac{(1+x)^{8}-1}{x}=11$

se ve así cuando se grafica.

Usar gráficos de este tipo solo muestra soluciones reales (no complejas). En este caso, $x=.089311$ es una solución de la ecuación (buena para 3 dígitos después del punto decimal).