¿Son hay espacios más generales que euclidiano espacios que tienen la propiedad de Heine – Borel?

Question

De Wikipedia

Un espacio métrico (o espacio vectorial topológico) se dice que el Heine–Borel propiedad si todo cerrado y limitado subconjunto es compacto.

Cualquier subconjunto de un espacio Euclídeo, incluyendo a sí mismo, tiene la de Heine–Borel de la propiedad. Me preguntaba si hay más tipos generales de espacios métricos, espacios vectoriales topológicos, o cualquier espacio donde acotamiento y closedness puede tener sentido, de tal manera que ellos también tienen el de Heine–Borel propiedad?

¿O la de Heine–Borel propiedad caracterizar los subconjuntos de Euclídea espacios?

Gracias y saludos!

Answer 1

0) tomar Nota de que, en general, un espacio métrico tiene esta propiedad iff es bola compacta, es decir, cerrado bolas de radio finito son compactos.

Bola compacta espacios localmente compactos, pero el recíproco no se sostiene: por ejemplo, un conjunto infinito dotado de la métrica discreta $d(x,y) = \delta_{x,y}$ es localmente compacto, limitada y no se compacta, por lo tanto no bola compacta.

1) Un topológico campo de pelota compacto si y sólo si es localmente compacto y no discreta. Así, la topológico campos con esta propiedad se $\mathbb{R}$ y $\mathbb{C}$, $\mathbb{Q}_p$ y sus extensiones finitas y $\mathbb{F}_q((t))$.

2) Un número finito de producto de bola compacta métrica espacios, dotados de (digamos) el producto métrica $d = \max_{i=1}^n d_i$ es de bola compacta.

La combinación de estos, nos encontramos con que cualquier finito dimensional espacio vectorial sobre un nondiscrete localmente compacto campo tiene esta propiedad. Esta directamente generaliza los espacios de $\mathbb{R}^n$ y hay ramas de las matemáticas (teoría de números, teoría de la representación, el análisis armónico) en el que esta generalización es muy natural.

Answer 2

Usted tiene que decidir cómo se quiere generalizar el Heine-Borel de la propiedad. No hay ninguna dificultad en la generalización de "cerrado", porque ya tiene sentido para cualquier espacio topológico, pero "limitado" no; es específico para los espacios con más estructura. Así que usted tiene que elegir exactamente cómo usted quiere generalizar de esa estructura en la interpretación de las Heine-Borel de la propiedad.

Ya que hay tentador generalizaciones de "limitado", donde el Heine-Borel propiedad no necesita tener (por ejemplo, arbitraria métrica espacios, con "$E$ está delimitado" define a significar algo así como "$E$ está contenida en algunos de bola de radio finito", no necesita tener el Heine-Borel de la propiedad), un poco de cuidado debe tenerse en hacer esto.

Una generalización es trabajar con completa métrica de los espacios, y para reemplazar la ingenua idea de acotamiento se acaba de describir con total acotamiento. En esta situación, es cierto que un subconjunto $E$ a de un espacio métrico completo es compacto si y sólo si es cerrado y totalmente acotado. (Si desea una Heine-Borel-tipo de teorema de las métricas de espacios en los que puede que no esté completo, usted puede hacer esto también--- en el costo de la sustitución de "cerrado" con algo relativo a la exhaustividad. De Wikipedia, en esta página es de carácter informativo; los detalles están también en la mayoría de los análisis de libros que hablan de métrica espacios en general. No estoy seguro, pero creo que Rudin los Principios de Análisis Matemático contiene al menos algunos de los detalles--- o tal vez lo que se pega en los ejercicios.)

Usted puede ir un poco más general que la métrica de los espacios considerando uniforme de los espacios (que tiene suficiente estructura más allá de la topología de ser capaz de hablar de cosas como "uniforme de la continuidad", pero no necesariamente tienen topologías inducidas por métricas). Total de acotamiento puede ser formulado para el uniforme de los espacios, también, y es lo que usted necesita (junto con un técnico de la condición relativa a la integridad) para caracterizar compacto establece en esta situación.

Ir en una dirección diferente, en el análisis funcional al menos, es bastante común que los subconjuntos de interés en infinitas dimensiones espacios vectoriales que simplemente no van a ser compacto o totalmente delimitada en cualquier estructura natural que usted quiere que ellos tengan estas propiedades, pero usted todavía desea explotar la idea de algún tipo de "acotamiento". La generalización de la noción de un bornological espacio (aproximadamente hablando, topológico, espacio dotado de una colección de subconjuntos que se considera ser "limitada"), en ocasiones, es útil en este sentido, aunque no puedo pensar en ninguna agradable Heine-Borel-tipo de teorema en este nivel de generalidad.

Answer 3

Espacios de Fréchet nucleares tienen esta propiedad.

Answer 4

Un espacio métrico tal que el pacto por conjuntos son exactamente el cerrado y acotado es llamada la "Borel compacto" (por definición). Un espacio métrico es Borel compacto iff es cofinally completa y regularmente los siguientes:

Una secuencia $(x_n)$ en un espacio métrico es cofinally de Cauchy si para cada a $\epsilon > 0$ existe alguna bola de $B(x, \epsilon)$ que contiene $x_n$ para infinidad de $n$. Un espacio métrico $(X,d)$ es cofinally completa iff cada cofinally de Cauchy secuencia convergente larga (o, equivalentemente, tiene un clúster de punto).

Un espacio es regularmente delimitada iff todo cerrado y acotado conjunto es totalmente acotado.

También, un espacio métrico es Borel compacto iff cada delimitada secuencia convergente larga.