Si $d$ es una métrica, entonces $d/(1+d)$ también es una medida

Question

Deje $(X,d)$ ser un espacio métrico y para $x,y \in X$ definir

$$d_b(x,y) = \dfrac{d(x,y)}{1 + d(x,y)}$$

a) mostrar que $d_b$ es una métrica en $X$

Sugerencia: considerar la derivada de $f(t)$ = $\dfrac{t}{1+t}$

b) mostrar que el $ d$ $ d_b $ son equivalentes métricas.

c) deje $(X,d) $ $(\mathbb{R}, |\cdot|)$ Muestran que no existe una $ M>0$ tal que $ |x-y| $ $\leq$ $Md_b$ $(x,y)$ para todos $ x,y$ $\in$ $\mathbb{R}$

He calculado $f(t)$ $f'(t)$ y a partir de esto sé $f(t)$ es una función creciente como $f'(t)$ es estrictamente positivo. Pero no sé a dónde ir desde aquí o cómo hacer las partes b) y c)

Answer 1

a) la Separación y la simetría son claras. Por la desigualdad triangular, hay un poco más de trabajo. Deje $$f(t):=\frac{t}{1+t}\qquad f'(t)=\frac{1}{(1+t)^2}.$$ Desde esta función se incrementa en $[0,+\infty)$, la desigualdad triangular de $d$ yieds $$ d_b(x,y)=f(d(x,y))\leq f(d(x,z)+d(z,y))=\frac{d(x,z)}{1+d(x,z)+d(z,y)}+\frac{d(z,y)}{1+d(x,z)+d(z,y)} $$ $$ \leq f(d(x,z))+f(d(z,y))=d_b(x,z)+d_b(z,y). $$

b) Usted necesita mostrar que una secuencia converge a $x$ $d$ si y sólo si converge a$x$$d_B$.

Supongamos primero que $d(x_n,x)\rightarrow 0$. Entonces $$ d_B(x_n,x)=\frac{d(x_n,x)}{1+d(x_n,x)}\leq d(x_n,x) $$ por lo $d_B(x_n,x)$ tiende a $0$.

Ahora si $d_B(x_n,x)$ tiende a $0$, $d(x_n,x)$ está delimitado por algunos $M>0$. En efecto, supongamos por contradicción que $d(x_n,x)$ es ilimitado. De modo que existe una larga $d(x_{n_k},x)$, lo que tiende a $\pm\infty$. A continuación, $d_B(x_{n_k},x)$ debe tender a $1$. Contradicción.

Ahora $$ \frac{d(x_n,x)}{1+M}\leq \frac{d(x_n,x)}{1+d(x_n,x)}=d_B(x_n,x). $$ Por lo $d(x_n,x)$ tiende a $0$.

c) Observar que $d_B$ es limitada mientras que $|x-y|$ es ilimitado. De modo que tal minoration es imposible.

Answer 2

Sabes que $d$ es una métrica que $$d_b=\frac{d(x,y)}{1+d(x,y)}=1-\frac{1}{1+d(x,y)}$$ as $ d(x,y)$ es mayor igual cero, tienes el definit positivo aquí y el symmetrie. La desigualdad de triángulo debe mostrarse similar.

por c) tome ese $d_B$ está delimitado (1 es un límite), pero no es $|x-y|$.