Cerrado de forma no exacta en $\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$

Question

Me gustaría construir un cerrado, pero no exacto $n-1$forma $\omega$ $\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ en analogía con el devanado de forma: $$\frac{x~dy-y~dx}{x^2+y^2}$$

Creo que algo como $$\omega=\frac{\sum_{i=1}^n x_i(\star dx_i)}{(x_1^2+\dots+x_n^2)^{n/2}}$$ should probably work. $\estrella de$ is the hodge star operator, for example $\estrella dx_1=dx_2\wedge\dots\wedge dx_n$ and $\estrella dx_2=-dx_1\wedge dx_3\wedge\dots\wedge dx_n$. $\omega$ is closed since $$d\omega=\sum_{i=1}^nd\left(\frac{ x_i}{(x_1^2+\dots+x_n^2)^{n/2}}\right)\wedge\star dx_i=\sum_{i=1}^n \frac{(\sum x_j^2)^{n/2}-n x_i^2 (\sum x_j^2)^{n/2-1}}{(\sum x_j^2)^{n}} dx_1\wedge\dots\wedge dx_n=0$$ Ahora queda demostrar que $\omega$ no es exacto. Supongo que un directo de cálculo no es la manera de hacerlo. Pensé asumiendo que no existe $d\eta=\omega$ y, a continuación, el uso de Stoke teorema para obtener la contradicción $0\not=\int_{S^{n-1}}\omega=\int_\emptyset \eta=0$. Dos preguntas acerca de esto:

1. Es el argumento general correcto?
2. Cómo demostrar a $0\not=\int_{S^{n-1}}\omega$? Supongo que un directo de cálculo uso generalizado de la esfera de coordenadas es algo tedioso.

Answer 1

1. Sí, se trata de una manera razonable de hacer cosas.

2. Que $\psi=\sum_{i=1}^n x_i (\star dx_i)$. Entonces $\left.\psi\right|_{S^{n-1}}=\left.\omega\right|_{S^{n-1}}$ y así $\int_{S^{n-1}} \omega = \int_{S^{n-1}} \psi$. Por otra parte, $d\psi$ es un múltiplo constante de la forma del volumen en $\Bbb{R}^n$. Ahora, aplicar el teorema de Stokes a $B^n$ y $S^{n-1}$...