¿Es la definición de estabilizador dada en Planet Math realmente la definición actualmente aceptada entre los teóricos de grupos?

Question

Según Planeta Matemático , dado

1. un grupo $G$
2. un conjunto $X$
3. un subconjunto $S \subseteq X$
4. y una acción de grupo $G \times X \rightarrow X,$

entonces el estabilizador de $S$ se define como tal: $\{g \in G \mid gS \subseteq S\}.$

Tengo un problema con esta definición; creo que la condición $gS \subseteq S$ debe ser sustituido por $gS = S.$ (Esencialmente, wikipedia sólo define los estabilizadores cuando $S$ es un conjunto único, lo que evita este problema. nLab también va por aquí).

Para ver el problema, dejemos $X$ denota la línea real, y escribe $G$ para el grupo de automorfismos de $X$ (es decir, biyecciones que preservan el orden de $X$ a sí mismo). Dejemos que $S = [-1,1]$ . Entonces, según Planet Math, la función

$$g : x \in X \mapsto x/2 \in X$$

está en el estabilizador de $S$ . Pero esto parece impar, porque la restricción de la función anterior a un mapeo $S \rightarrow S$ no produce una biyección. El problema, por supuesto, es que $gS = [-1/2,1/2]$ es un subconjunto propio de $S = [-1,1]$ . En fin, mi pregunta es:

Pregunta. ¿Es la definición de estabilizador dada en Planet Math realmente la definición actualmente aceptada entre los teóricos de grupos?

Answer 1

Es una errata o una chapuza, ya que David Jao afirma que el estabilizador es un subgrupo, y no lo es con su "definición". La definición correcta requeriría la igualdad, no la contención. Me gusta la terminología francesa, donde el "fijador" se utiliza para el estabilizador puntual del subconjunto.