Estoy haciendo una tarea pero no sé cómo hacer este problema. Tengo lo siguiente: $$ f(x)= \begin{cases} 0 & \text{for $x<0$},\\ x & \text{for $x\geq 0$}. \end{cases} $$
Se trata de determinar si es continua o no. No sé por qué hay como un paréntesis con un $0$ arriba y un $x$ en el fondo, ni entiendo lo que significa para $x \geq 0$ . Básicamente, no entiendo todo el asunto. ¿Cómo se llama este tipo de función para que pueda investigar sobre ella (pienso buscarla en la academia khan)?
Como otros han mencionado, lo que tienes se llama a trozos función. Esto significa literalmente que las "piezas" de su función se definen de forma diferente.
Para $$ f(x)= \begin{cases} 0 & \text{for $x<0$},\\ x & \text{for $x\geq 0$}, \end{cases} $$ puede ayudar a que realmente dibujar lo que la función $f(x)$ para algunos valores de muestra. Por ejemplo, lo siguiente es lo que su $f(x)$ parece en el intervalo $-5\leq x\leq 5, 0\leq y\leq 5$ :
$\color{white}{Please do center this}$
Añadido: Puede ser útil (para el OP) saber que el siguiente bloque de código (Mathematica) se utilizó para generar la figura anterior: Plot[Piecewise[{{0, x < 0}, {x, x >= 0}}], {x, -5, 5}]
Puede ver el efecto en Wolfram|Alpha si quieres (y puedes jugar con los parámetros para ver cómo cambian las cosas si lo deseas).
En general, como dijo Barak Manos, se trata de una función a trozos. Es una función que definimos utilizando una determinada expresión para algunos $x$ y otra para algún otro $x$ . Por ejemplo, ¿qué es $f(x)=|x|$ ? Usted sabe que si $x\ge 0$ , lo que significa que $x\in [0,+\infty )$ entonces $|x|=x$ y si $x\le 0$ , lo que significa que $x\in (-\infty ,0]$ entonces $|x|=-x$ . Así que: $$ f(x)=|x| = \begin{cases} x & x\ge0, \\ -x & x<0. \end{cases} $$
Lo mismo ocurre con su función: para calcular el valor de $f(x)$ para un determinado $x$ Primero hay que ver en qué estado se encuentra su $x$ se satisface. Por ejemplo, $-3<0$ así $f(-3)=0$ .
Sólo para ser pedante, no existe una "función a trozos", es decir, "a trozos" no nombra una clase de funciones sino una forma de describir simplemente las funciones por distinción de casos. Toda función (que puede describirse de cualquier manera) puede describirse (trivialmente) como "a trozos", por ejemplo, la función $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ con $f(x)=x^2$ podría escribirse como $$ f(x)=\begin{cases} x^2\text{ if } x<0\\ x^2 \text{ otherwise} \end{cases} $$
Creo que lo que causa problemas con tales descripciones es el hecho de que la mayoría de los principiantes en matemáticas piensan en las funciones como una especie de "término algebraico con variables" y no en objetos abstractos que podrían describirse de muchas maneras..
¿Cómo se llama este tipo de función?
Esta es la función de rampa .
Este es un ejemplo de función a trozos.
El paréntesis grande significa que la función se evalúa de forma diferente según el dominio $x$ está dentro.
Cuando $x < 0$ puis $f(x) = 0$ .
Cuando $x \geq 0$ puis $f(x) = x$ .
Las funciones continuas son funciones que no tienen huecos.
Esta función es continua.
Un ejemplo de una función que es no continua sería
$$ f(x)= \begin{cases} 0 & x<0\\ 1 & x\geq 0 \end{cases} $$ Esto no es continuo porque hay un espacio entre los segmentos de la línea en $x = 0$ .
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