La convergencia en medida no está dada por un seminorm

Question

Deje $V$ ser el espacio vectorial de todos los verdaderos valores de Borel medible funciones en $[0,1]$. Muestran que la convergencia en medida (con respecto a la medida de Lebesgue) no es dado por un seminorm. Es decir, mostrar que no hay ninguna seminorm $\|\cdot\|$ $V$ tal forma que los elementos $f,f_1,f_2,\dots$ $V$ satisfacer $\lim_n \|f_n-f\| = 0$ fib $(f_n)$ converge a $f$ en la medida.

(Sugerencia: muestre que si un seminorm existe, entonces para cada positivos $\epsilon$ funciones $g_1, \dots, g_n \in V$ tal que $\|g_i\| \leq \epsilon$ por cada $i$ que $1/n \sum _{i= 1} ^n g_i $ es igual a la función constante 1.)

Tengo un problema ya que ambos muestran la existencia y, a continuación, la contradicción. Estoy agradecido por las sugerencias o soluciones.

Answer 1

Sólo sugerencias para darle a usted, puede proporcionar detalles como usted consigue más.

Así que la primera pregunta, ¿por qué a la construcción va a dar una contradicción? "Piezas pequeñas", cuyo promedio es la función constante $1$. ¿Qué es un límite en el seminorm de esta función promedio? ¿Qué significa cuando tome $\epsilon$ hacia $0$? Usted podría considerar explícitamente la elección de $\epsilon$ $1/k$ y mirando la secuencia resultante, $f_k$ (promedio de las funciones correspondientes a $1/k$).

Segunda pregunta hacia la construcción: Por simplicidad, establezca $f=0$, estamos convergiendo en la medida de a $0$. Puede usted pensar en un ejemplo canónico de algo que converge en la medida en cero, mientras que sólo el uso de indicadores de intervalos? ¿Este cambio de ejemplo, si la escala de la secuencia? (recuerde que usted necesita para producir un promedio de cosas que te dan la constante $1$).

(Yo debería haber añadido que el ejemplo que tengo en mente es $\chi_{[0,1]},\chi_{[0,1/2]},\chi_{[1/2,1]},\ldots$, lo $\chi_{[0,1/n]}$ $n$ de sus turnos, el aumento de $n$. De esta manera usted puede obtener de forma automática la seminorm de $\chi_{[0,1/m]}$ $m$ de sus turnos a todos ser inferior a un determinado $\epsilon$. Esto no va a hacer bien, por lo que modificar el ejemplo a escala de $n$, por lo que el uso de $n \chi_{[0,1/n]}$ $n$ de sus turnos.)

Answer 2

La secuencia de $a_n\chi_{(0,n^{-1})}$ converge en la medida de a $0$ por cada $a_n\uparrow\infty$. Esto proporciona a $n_0$ tal que $\lVert \chi_{[0,n_0^{-1}]}\rVert=0$. De hecho, de lo contrario, tome $a_n:=n\lVert \chi_{(0,n^{-1})}\rVert^{-1}$; a continuación,$\lVert a_n\chi_{(0,n^{-1})}\rVert=n$.

Por lo tanto, no es una función que no es $0$ en casi todas partes, pero el semi-norma que va a hacer el trabajo de esta función es $0$. Puesto que la condición en la semi-norma implica que cada una de las $f$ que $\lVert f\rVert=0$ $0$ en casi todas partes, se obtiene una contradicción.