Demostrando que el grupo lineal general es una variedad diferenciable

Question

Sabemos que el grupo lineal general se define como el conjunto $\{A\in M_n(R): \det A \neq 0\}$. Tengo una tarea sobre cómo demostrar que es un buen colector. Hasta ahora mi única idea es que podemos pensar de cada matriz, decir $A$, en ese grupo como una $n^2-$dimensiones del vector. Así que supongo que en cada barrio de $A$ es homeomórficos a abrir una pelota en $\mathbb{R}^{n^2}$ (sin Embargo, no sé cómo probar esto.)

Ahora, estoy pidiendo ayuda si alguien me pudiera dar una pista sobre cómo probar que el grupo lineal general es un buen colector ya que realmente no tiene una idea sobre cómo hacer esto. (Por cierto, sinceramente, yo no entiendo realmente lo que un $C^{\infty}-$liso de la estructura de los medios, que es esencial para la definición de un buen colector.) Su ayuda será muy apreciada. :)

Answer 1

Aquí están algunos consejos:

• $\mathbb{R}^{n^2}$ es trivialmente un suave colector.

• El determinante mapa $$\det: \mathbb{R}^{n^2} \longrightarrow \mathbb{R},$$ el cual se define mediante la consideración de los elementos de $\mathbb{R}^{n^2}$ $n \times n$ matrices, es continua (es un polinomio en las entradas de la matriz). Entonces $$\mathrm{GL}(n; \mathbb{R}) = \mathrm{det}^{-1}(\mathbb{R}\setminus\{0\})$$ es un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^{n^2}$.

• Demostrar que un subconjunto abierto de un buen colector es de por sí un suave colector con la obvia suave de la estructura.

Si usted necesita más aclaraciones, hágamelo saber.

Answer 2

Construir un mapa $f:M_n(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}$ tomando cada matriz a su determinante, donde $M_n(\mathbb{R})$ es el conjunto de todos los $n \times n$ matrices. $f^{-1}(\mathbb{R}\backslash\{0\})=GL_n(\mathbb{R})$, e $\mathbb{R}\backslash\{0\}$ es un subconjunto abierto de $\mathbb{R}$. Por lo tanto, $GL_n(\mathbb{R})$ es un subconjunto abierto de $M_n(\mathbb{R})$. Voy a dejar el resto para usted.