Supongamos que aplico dos fuerzas verticales pero opuestas con la misma magnitud en un cuerpo como el que se muestra en la imagen:
Según la segunda ley de Newton, el centro de masa no debería acelerarse, ya que la suma de las fuerzas del sistema es cero. Sin embargo, creo que en la situación que se muestra en la imagen el cuerpo comenzaría a girar alrededor de un punto que no es su centro de masa, por lo tanto, el centro de masa se aceleraría.
¿Qué hay de malo en mi razonamiento?
Esta aparente paradoja no es en realidad una paradoja en absoluto. De hecho, es debido a la segunda ley de Newton, que podemos decir que el objeto girará exactamente alrededor de su centro de masa. Esto es cierto para cualquier cuerpo en el que la fuerza externa neta es 0, pero el par neto está presente.
En la mecánica newtoniana, el centro de masa sirve para simplificar los cálculos, por la misma razón.
Aunque puedo entender que piense que el objeto no girará alrededor del centro de masa, esta opinión no tiene fundamento matemático o lógico.
Para cuatro de los ejemplos de Georges puedo dar una pista general. Si $X \to Spec \ k$ es étale donde $k$ es un campo, entonces $X$ debe ser sólo una unión desarticulada $ \coprod Spec \ L_i$ donde cada uno $L_i$ es una extensión de campo separable finito de $k$ .
Probar este hecho es un buen ejercicio y se remonta a la analogía que la gente ha estado haciendo. Un "espacio de cobertura" de un punto debería ser sólo topológicamente un conjunto discreto de puntos, pero esto es geometría algebraica, así que también debería haber información algebraica. La información algebraica es que las extensiones de campo son todas separables. Esto tiene que ver con el hecho de que $X$ Ser liso implica que está "reducido geométricamente" y por lo tanto se ve que no podemos captar nilpotentes al cambiar de base.
Ahora debería ser bastante fácil de hacer (e)-(h). Desafortunadamente, todos los campos base de allí son perfectos, por lo que no tenemos extrañas complicaciones innecesarias. Añadiré
i) $ \displaystyle Spec \left ( \frac { \mathbb {F}_p(t)[x]}{(x^p-t)} \right ) \to Spec \ \mathbb {F}_p(t)$
Este es un intento de responder a su pregunta de una manera algo más rigurosa matemáticamente, pero aún contando con su intuición (física).
Como se ha señalado en otros carteles, la lineal o el momento de la traducción no cambiará cuando aplique la fuerza de la manera que describió. Esto se hace más evidente al observar el ( no )movimiento del centro de masa, pero también se puede 1) dividir el objeto en partes más pequeñas, 2) dibujar vectores de aceleración y velocidad de cada uno, y 3) notar que estos últimos se suman a cero. Dado que el momento (lineal) es directamente proporcional a la velocidad, el momento total también es igual (y permanece) a cero. Por lo tanto, se cumple la segunda ley de Newton.
Cuando se trata de objetos que no son puntuales, es decir, que tratan con cualquier cosa que no sea de una sola dimensión, se puede definir lo que resulta ser una cantidad útil, angular el momento: $ \mathbf {L}= \mathbf {r} \times \mathbf {p} $ donde $ \mathbf {r}$ es un vector de posición de una partícula (o una parte de un objeto más grande, si tratas esa parte como un punto) y $ \mathbf {p}$ su momento lineal.
En una dimensión, el producto cruzado como operación matemática no está definido y no tiene sentido, mientras que para una partícula puntual, $ \mathbf {r} || \mathbf {p} $ son siempre paralelas, por lo que el producto cruzado es cero. El momento angular sólo tiene sentido entonces cuando se trata de objetos (normalmente 3D) de tamaño finito.
Si ahora repite el proceso de dividir su objeto en partes más pequeñas y dibujar los vectores relevantes y los productos cruzados, se dará cuenta de que la suma de los componentes del momento angular no es realmente igual a cero. Sin embargo, aún se conserva, por lo que la segunda ley de Newton se generaliza a este respecto. La conservación del momento angular sigue directamente de la conservación del momento lineal, simplemente anotando su definición y calculando su derivada.
Sólo por conveniencia, el par se define normalmente en este contexto como $ \boldsymbol { \tau }= \mathbf {r} \times\mathbf {F}$ pero esto es simplemente para facilitar la notación.
La Ley de Newton, cuando se aplica a sistemas rotativos como el suyo, son diferentes de la ley translacional que probablemente esté acostumbrado a ver. La segunda ley es
$$ \vec {N} = \frac {d \vec {L}}{dt} = \sum_i \vec {r_i} \times \vec {F_i} $$
$ \vec {N}$ aquí denota el torque, que es igual a la derivada temporal del momento angular. $ \vec {r}_i$ son los vectores de posición desde el eje de rotación hasta las fuerzas que se aplican, y por supuesto, $ \vec {F}_i$ son las fuerzas aplicadas.
Por lo tanto, lo que tienes aquí es muy parecido a cuando sumas las fuerzas de traducción que actúan en un bloque en una rampa, o algo similar. Aquí simplemente se ve cuál es más grande, $ \vec {r}_1 \times\vec {F}_1$ o $ \vec {r}_2 \times\vec {F}_2$ y el par mayor inducirá una aceleración angular en la dirección del par.
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