Haces casi coherentes, los esquemas y el teorema de Gabriel-Rosenberg

Question

En el contexto de la propiedad conmutativa de los anillos, un anillo está totalmente determinado por su categoría de módulos. Es decir, dos anillos conmutativos $R$ y $S$ son isomorfos si y sólo si la categoría de $R$-módulos es equivalente a la categoría de $S$-módulos. En particular, tenemos el siguiente resultado sobre afín esquemas:

Si $X=(X,\mathcal O_X)$ es un esquema, vamos a $QCoh(X)$ denotar la categoría de cuasi coherente $\mathcal O_X$-módulos en $X$. A continuación, dos afín a los esquemas de $X$ y $Y$ son isomorfos si y sólo si $QCoh(X)$ es equivalente a $QCoh(Y)$.

(Esto se deduce del hecho de que si $X=Spec(R)$ para un anillo conmutativo $R$, entonces $QCoh(X)$ es equivalente a la categoría de $R$-módulos.) Mi pregunta es la siguiente:

Para un esquema general de $X$, ¿en qué medida $QCoh(X)$ determinar $X$?

Agregado: Como t.b. señaló a continuación en los comentarios, el Gabriel-Rosenberg reconstrucción teorema responde a la pregunta, al menos en la cuasi-compacto, cuasi-conectado caso, que es el primer caso probado por Gabriel. Pero el nLab la página no es muy clara acerca de los más generalizaciones. En particular, me gustaría saber en cuánto a la generalidad ostenta, y los usos de la cuasi-compacidad hipótesis.

Answer 1

Si $X$ y $Y$ son cuasi-separados esquemas tales que $\mathsf{Qcoh}(X)$ y $\mathsf{Qcoh}(Y)$ son equivalentes, entonces $X$ y $Y$ son isomorfos. Esto es (reclamado) probado en el papel:

A. Rosenberg, los Espectros de 'espacios' representado por abelian categorías, MPI Memorias De La Serie, 2004 (115).

Hace un par de años he estudiado este documento en detalle y han llegado a la conclusión de que es tiene varios errores graves. Pero Gabber me ha dicho cómo corregir la prueba. Ver http://arxiv.org/abs/1310.5978 para una escritura.

Estoy bastante seguro de que el caso general (sin cuasi-separados hipótesis) es abierto. Incluso la parte más simple de la prueba, es decir, que la canónica homomorphism $\Gamma(X,\mathcal{S}_X) \Z(\mathsf{Qcoh}(X))$ es un isomorfismo, parece ser abierto para los programas generales. Pero, para ser honesto, que se preocupa por los regímenes que no son cuasi-separados ? ;)

Ver aquí para lo que sucede cuando la estructura monoidal se conserva.