Un contraejemplo a la bajada teorema de

Question

Agradezco cualquier ilustración en la siguiente, que debe ser un ejercicio de un determinado libro de texto. (Yo no reconocer de donde viene.) Entiendo que la bajada de la propiedad no se sostiene desde $R$ no es integralmente cerrado (de hecho, no es una UFD), pero no tengo idea de cómo mostrar que $q$ es un contraejemplo.

Deje $k$ ser un campo, $A = k[X, Y]$ ser un polinomio de anillo, $R = \lbrace f \in A \colon f(0, 0) = f (1, 1) \rbrace \subset A$ ser un sub-anillo. Definir $q = (X)\cap R$, $p = (X - 1, Y - 1) \cap R$, $P = (X - 1, Y - 1)$. Demostrar que no existe $Q \in \operatorname{Spec} A$, $Q\subset P$ que va hacia abajo a $q$.

Answer 1

Nos muestran que no hay un primer $Q\subset P$ tal que $Q\cap R=q$.

Permítanos calcular $p,q$. El primer $q=(X)\cap R=\{Xh\mid h(1,1)=0,h(X,Y)\in k[X,Y]\}$, el primer $p=P\cap R=\{g(X,Y)\mid g(0,0)=g(1,1)=0, g\in k[X,Y]\}$. Ahora está claro, $q\subset p$ y no es igual a $p$, ya que el $X-Y\in p\setminus q$.

Estamos listos para mostrar nuestra declaración. Supongamos que hay un primer ideal $Q\subset P$ tal que $Q\cap R=q$,$Q\neq P,0$. Por lo tanto $Q$ debe ser un director ideal $(f)$ con un polinomio irreducible $f$ tal que $f(1,1)=0$. Pero en este caso, $(f)\cap R=\{fh\mid f(0,0)h(0,0)=0,h\in k[X,Y]\}$. Podemos encontrar un polinomio irreducible $g\in k[X,Y]$ tal que $g(1,1)=0$ pero $(g)\neq (f)$, $Xg(X,Y)\in q$ pero $Xg(X,Y)\notin (f)$. Hemos terminado.

Answer 2

Te voy a mostrar que la existencia de $Q\in Spec(A)$ satisfacción $Q\subsetneq P$ $q= Q\cap R$ conduce a una contradicción.

Tenemos $X\cdot (X-1)\in q $ , lo $X\cdot (X-1)\in Q$.
Por lo tanto, tenemos $(X-1)\in Q$ (desde $X\notin Q$ porque $X\notin P$).
Pero esto obliga a $Q=(X-1)A$, ya que el $(X-1)A\subset Q\subsetneq P=(X-1,Y)$.
Pero, a continuación,$(X-1)Y\in Q\cap R \setminus q$ : contradicción .

Editar
Como wxu apunta en su comentario, $q$ como se define por eltonjohn no está incluido en $p$. La anterior respuesta es correcta (estoy seguro de eso, porque otra cosa wxu habría dado cuenta!), pero no es un contraejemplo a Bajar.
Aconsejo a los usuarios leer wxu del post: modificado eltonjohn la pregunta, precisamente, con el fin de dar un contraejemplo.